MATHÉMATIQUES

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Centre de gravité d'un triangle 

 

Rappel : milieu d'un segment


Soient $B$ et $C$ deux points du plan, 

$A'$ est le milieu de $[BC]$ si et seulement si $\overrightarrow{BA'} = \dfrac{1}{2} \overrightarrow{BC}$ ce qui est équivalent à dire en utilisant la relation de Chasles que $\overrightarrow{A'B} + \overrightarrow{A'C}= \overrightarrow{0}$

 

Définition :


Soit $ABC$ un triangle, il existe un point du plan, noté $G$, et un seul, tel que

$\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$. 

Ce point est appelé le centre de gravité du triangle

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1. Point de concours des médianes

 

On réécrit cette égalité en faisant apparaitre le point $A$ dans les deux derniers vecteurs par la relation de Chasles.

Cela devient alors 

$\overrightarrow{GA} + (\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AB}) +   (\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AC}) = \overrightarrow{0}$

En regroupant les $\overrightarrow{GA}$ on a alors :

$\overrightarrow{AG} = \dfrac{1}{3} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$

Enfin, en faisant apparaitre le milieu de $[BC]$, c'est à dire $A'$ on trouve :

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