MATHÉMATIQUES


Cosinus et Sinus d'un nombre réel. Valeurs remarquables. 

 

I) Cosinus et Sinus d'un angle


a) Définition

Dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ et orienté dans le sens direct (sens anti-horaire), on considère un cercle trigonométrique de centre $O$ et de rayon 1.

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Pour tout réel $x$, considérons le point $N$ de la droite orientée d'abscisse $x$. Cette droite est la droite des réelles et est tangente au cercle trigonométrique au point de coordonnées $(1, 0)$.

A ce point $N(x)$, on fait correspondre par enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique un point $M$. 
On appelle $H$ et $K$ les pieds respectifs des perpendiculaires à l'axe des abscisses et à l'axe des ordonnées passant par $M$. 
Le cosinus du nombre réel $x$ est l'abscisse de $M$, c'est à dire la distance $OH$, et on le note $\cos(x)$. 
Le sinus du nombre réel $x$ est l'ordonnée de $M$, c'est à dire la distance $OK$, et on le note $\sin(x)$.

b) Lien avec le sinus et le cosinus dans un triangle rectangle

Si à $x$ correspond une mesure d'angle aigu, c'est à dire inférieure à $90$° ou $\dfrac{\pi}{2}$ radians, alors on retrouve la définition du cosinus et sinus dans un triangle rectangle.
On se place dans le triangle $OMH$, rectangle en $H$ par définition du point $H$.

$\cos(x) = \dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \dfrac{OH}{OM}$.

Or $[OM]$ est le rayon du cercle trigonométrique de rayon 1, donc $OM = 1$.

Ainsi, $\cos(x) = \dfrac{OH}{OM} = \dfrac{OH}{1} =

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