MATHÉMATIQUES


Équations différentielles $y' = ay$ avec $a \in \mathbb{R}$

 

Propriété

 

Les solutions de l'équation différentielle $y' = ay$ avec $a \in \mathbb{R}$ sont les fonctions de la forme $x \mapsto Ce^{ax}$ où $C$ est une constante réelle. 

 

Démonstration

 

On commence par démontrer que toute fonction de la forme $x \mapsto Ce^{ax}$ où $C$ est une constante réelle est solution de l'équation différentielle $y' = ay$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par

$f(x) = Ce^{ax}$.

$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ en tant que composée de deux fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$.

On pose $u(x) = ax$. Ainsi,

$f(x) = Ce^{u(x)}$.

On sait en outre que $\left ( e^u \right )' = u'e^u$ pour toute fonction $u$.

Ainsi, $f'(x) = C \times ae^{ax}$, car la dérivée de $u(x) = ax$ est $u'(x) = a$.

Finalement,

$f'(x) = a \times Ce^{ax} = a \times f(x)$.

On vient donc de montrer que $f$ est solution de l'équation différentielle $y' = ay$.

 

La deuxième partie de la démonstration consiste à montrer que toute solution de l'équation différentielle $y' = ay$ s'écrit sous la forme $x \mapsto Ce^{ax}$.

On propose pour cette seconde partie deux démonstrations

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