MATHÉMATIQUES

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Produit scalaire, norme et distance 

 

Définition :

 

Le produit scalaire de deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ est un réel noté $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ vérifiant $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = \|u\|\times\|v\|\times \cos(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v})$ si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ non nuls (si l'un des vecteurs est le vecteur nul, le produit scalaire vaut 0).

On en déduit alors que $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u} = \|u\|^2$

 

Formules de polarisation : 

 

Ces formules permettent de calculer les produits scalaires sans utiliser le cosinus.

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = \dfrac{1}{2} \left ( \|u+v\|^2 -\|u\|^2 - \|v\|^2 \right )$

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = \dfrac{1}{2} \left ( \|u\|^2 + \|v\|^2 - \|v-u\|^2  \right )$<

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