MATHÉMATIQUES

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Reconnaitre une équation de cercle, Déterminer centre et rayon

 

I) Les deux formes d'équation de cercle 

 

1) Forme centre rayon

Soit $\mathcal{C}$ un cercle de centre $A(x_A;y_A)$ et de rayon $R$,

Soit $M(x; y)$ un point du plan,

$M$ appartient au cercle si et seulement si il est équidistant du centre.

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Ainsi, $M \in \mathcal{C} \iff AM = R \iff {AM}^2 = R^2$. 

 

Calculons les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AM}$ :

$\overrightarrow{AM} \left ( \begin{array}{c} x - x_A \\ y - y_A \end{array} \right )$

Ainsi, $AM = \sqrt{(x - x_A)^2 + (y - y_A)^2}$ et donc ${AM}^2 = (x - x_A)^2 + (y - y_A)^2$.

En remplaçant dans l'équivalence initiale, on obtient :


$M \in \mathcal{C} \iff (x - x_A)^2 + (y - y_A)^2 = R^2$

 

Formule :

L'équation cartésienne du cercle centré en $A(x_A; y_A)$ de rayon $R$ est donnée par $(x - x_A)^2 + (y - y_A)^2 = R^2$. 

 

Exemple :

On demande pour chaque équation de donner le centre et le rayon du cercle associé.

1) $(x - 4)^2 + (y + 1)^2 = 9$. 

On réécrit alors cette équation pour retrouver la formule précédente :

$(x - 4)^2 + (y - (-1))^2 = 3^2$.

Ainsi, il s'agit d'un cercle de centre $A(4; -1)$ et de rayon $3$. 

 

2) $(x + 3)^2 + (y + 6)^2 = 5$. 

De même, on réécrit cette équation.

$(x - (-3))^2 + (y - (-6))^2 = (\sqrt{5})^2$. 

Finalement, il s'agit d'un cercle de centre $B(-3; -6)$ et de rayon $\sqrt{5}$. 

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