MATHÉMATIQUES

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Suites tendant vers l'infini

 

Définition :


Une suite de réels $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ a pour limite $+ \infty$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$ si et seulement si tout intervalle de la forme $[A; +\infty [$, avec $A \in \mathbb{R}^*_+$, contient tous les termes à partir d'un certain rang.

On note alors : $\lim \limits _{n \to + \infty} u_n = + \infty$

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On trace la droite des réels et la "droite" des entiers naturels. On place sur la droite des réels un réel $A$ positif. Quelque soit le réel $A$ choisit, il existe un entier naturel $n_0$, dépendant de $A$, tel que pour tout $n \geq n_0$, $u_n \geq A$.

Cela signifie que l'intervalle de la forme $[A; +\infty [$ contient la quasi totalité des termes de la suite. En effet, il existe un nombre fini de termes de la suite n'appartenant pas à l'intervalle $[A; +\infty [$ : il y en a exactement $n_0$.

Mathématiquement, cela se traduit par l'énoncé suivant :

$\forall A > 0, \exists n_0 \in \mathbb{N} | \forall n \in \mathbb{N}, n \geq n_0 \Rightarrow u_n \geq A$ 

Ou encore :

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