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BOOST MATHS - TRANSLATIONS DE VECTEURS

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Translations et vecteurs

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Translations et vecteurs

 

Définition 

 

La translation qui transforme $A$ en $B$ est l'unique transformation qui transforme un point $C$ en un point $D$ tel que $ABDC$ soit un parallélogramme ou bien tel que $[AD]$ et $[BC]$ ont même milieu. 

La translation peut également être vue comme un glissement de $A$ vers $B$ : ce glissement s'effectue selon une certaine direction, avec un certain sens et selon une certaine longueur. 

On passe donc de $A$ vers $B$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$ et de $C$ vers $D$ par la même translation. 

Cette translation est notée $t_{\overrightarrow{AB}}$. 

 

Le fait de passer du point $A$ au point $B$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$ revient à écrire que l'image de $A$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$ est $B$ : $t_{\overrightarrow{AB}}(A) = B$.

De même, le point $C$ est transformé en point $D$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$ ce qui s'écrit $t_{\overrightarrow{AB}}(C) = D$.

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Vecteurs égaux

 

Supposons que $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AI}$.

Cela signifie que l'on passe du point $M$ au point $N$ par le même vecteur qui permet de passer de $A$ à $I$. 

On a alors l'équivalence suivante $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AI} \iff MAIN $ est un parallélogramme. 

Comme $MAIN$ est un parallélogramme, on peut aussi écrire que $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{IN}$.

Enfin, il est courant de renommer un vecteur par une lettre, par exemple on pourra écrire $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{u}$. 

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