STAGE - ÉCHANTILLONNAGE

Echantillonnage

On se demande si à partir d'une population assez grande, on peut étudier un caractère dont on connait la proportion $p$. 

On considère pour se faire un échantillon de taille $n$ connue et on cherche à déterminer si cet échantillon représente la population initiale pour le caractère étudié au seuil de 95% de confiance. 

Le nombre d'individus présentant le caractère étudié au sein de la population suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$.

La variable aléatoire associée est notée $X$. 

On cherche alors le plus petit entier $a$ tel que $P(X \leq a ) > 0,025$.

De même on cherche le plus petit entier $b$ tel que $P(X \leq b ) \geq 0,975$.

L'intervalle de fluctuation vaut $I_f = \left [ \dfrac{a}{n}; \dfrac{b}{n} \right ]$. 

A l'issue de ce calcul, il faut prendre une décision, c'est à dire confirmer ou infirmer que l'échantillon correspond à la population. 

Pour cela, on suppose que l'échantillon représente la population : c'est une hypothèse. 

Si la fréquence $f$ constatée appartient à $I_f$ alors on accepte l'hypothèse : l'échantillon représente la population. 

Sinon, on refuse l'hypothèse. 

Exemple : 

On considère que 45% de la population française possède des lunettes.

On étudie un échantillon de 35 personnes : on définit alors la variable aléatoire $X$ qui suit la loi binomiale de paramètres $n = 35$ et $p = 0,45$. 

A partir de la calculatrice, on obtient le tableau suivant :

Par lecture dans le tableau, on voit que $A = 10$ et $b = 22$. 

Ainsi, $I_f = \left [ \dfrac{10}{35}; \dfrac{22}{35} \right ]$ au seuil de 95%.

Prise de décision :

Si parmi cet échantillon 17 personnes ont des lunettes, la fréquence du caractère est donc $f = \dfrac{17}{35}$.

Ainsi $f \in I_f$ : cet échantillon représente donc bien la population.