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PROBABILITÉS CONDITIONNELLES

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Probabilités conditionnelles

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Probabilités conditionnelles

 

Introduction

 

A travers l'exemple suivant est introduite la notion de probabilité conditionnelle.

Un laboratoire pharmaceutique a réalise des tests sur 800 patients atteints d'une maladie. Certains suivent le traitement A, les autres le B. 

On regroupe les résultats de l'étude dans le tableau ci dessous. 

 

  A B Total
Guéris 383 291 674
non Guéris 72 54 126
Total 455 345 800

 

On choisit au hasard un patient et on considère trois événements.

$A$ : "le patient suit le traitement A"

$B$ : "le patient suit le traitement B"

$G $ : "le patient est guéri"

Le patient étant choisi au hasard, on peut appliquer les règles de l'équiprobabilité. 

La probabilité de l'événement $A$ est donc égale au rapport de l'effectif de $A$ par l'effectif total, c'est à dire $P(A) = \dfrac{455}{800} \approx 0,57$. 

De même, $P(B) = \dfrac{345}{800} \approx 0,43$. 

On calcule aussi la probabilité d'être guéri : $p(G) = \dfrac{674}{800} \approx 0,84$.

Enfin, la probabilité d'être guéri et de suivre le traitement A est :

$P(G \cap A) = \dfrac{383}{800} \approx 0,48$, où $383$ est lu à l'intersection de la colonne A et la ligne Guéris. 

 

On s'intéresse à présent à la probabilité que le patient ait pris le traitement A sachant qu'il est guéri.

Il faut alors comprendre que l'on change d'ensemble de référence.

On ne travaille plus sur l'ensemble des 800 patients : on sait qu'il est guéri et donc qu'il appartient à l'ensemble des 674 personnes guéries. 

En outre, on sait que parmi ces 674 personnes guéries, 383 ont pris le traitement A.

La probabilité d'avoir suivi le traitement A sachant que le patient est guéri se note $P_G(A)$ et correspond au rapport du nombre de patients guéris ayant suivi le traitement $A$ par le nombre total de personnes guéries, soit $P_G(A) = \dfrac{383}{674} \approx 0,57$. 

On peut alors remarquer que $\dfrac{P(G \cap A)}{P(G)} = \dfrac{\frac{383}{800}}{\frac{674}{800}} = \dfrac{383}{800} \times \dfrac{800}{674} = \dfrac{383}{674} = P_G(A)$. 

Il est aussi important de noter que l'ordre du conditionnement influe sur le résultat. 

 

Si on regarde la probabilité que le patient soit guéri sachant qu'il a suivi le traitement A, par le même raisonnement que précédemment, cela revient à calculer $P_A(G)$, soit le rapport du nombre de personnes ayant guéri et suivi le traitement A par le nombre total de personnes ayant suivi le traitement A :

$P_A(G) = \dfrac{383}{455} \approx 0,54$.

Le nouvel ensemble de référence est les 455 personnes ayant suivi le traitement A et parmi elles, 383 sont guéries. 

On peut alors remarquer que $P_A(G) \neq P_G(A)$ et que $\dfrac{P(G \cap A)}{P(A)} = P_A(G)$.