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LOIS DE PROBABILITÉS, ESPÉRANCE

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Espérance et écart-type

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Espérance et écart-type

 

Définition :

 

Soit $X$ une variable aléatoire de loi de probabilité suivante :

Valeurs $x_1$ $x_2$ ... $x_n$
Probabilités $p_1$ $p_2$ ... $p_n$

 

Espérance de $X$ :

$E(X) = x_1p_1 + x_2p_2 + ... + x_np_n$

 

Variance de $X$ :

$V(x) = p_1 \times [x_1 - E(X)]^2 +  p_2 \times [x_2 - E(X)]^2 + ... +  p_n \times [x_n - E(X)]^2$

 

Ecart type de $X$ :

$\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$.

 

Exemple :

On considère la variable aléatoire $X$ représentant le gain d'un joueur (en €) et ayant comme loi de probabilité le tableau suivant:

Valeurs  4  1  -2
Probabilités $\dfrac{1}{4}$ $\dfrac{1}{2}$ $\dfrac{1}{4}$

 

Calculons l'espérance de $X$:

$E(X) = 4 \times \dfrac{1}{4} + 1 \times \dfrac{1}{2} + (-2) \times \dfrac{1}{4} = 1$.

Cela signifie qu'en moyenne, le joueur peut espérer gagner 1€ par partie en jouant de nombreuses fois. 

 

Calculons la variance de $X$:

$V(X) = \dfrac{1}{4} \times [4 - 1]^2 + \dfrac{1}{2} \times [1 - 1]^2 + \dfrac{1}{4} \times [-2 - 1]^2 = \dfrac{9}{2}$.


Enfin, l'écart type vaut :

$\sigma(X) = \sqrt{\dfrac{9}{2}} \approx 2,12$. 

L'écart type permet de mesurer l'écart à l'espérance des valeurs.

 

Propriétés :

 

Soient $X$ une variable aléatoire, $a$ et $b$ deux réels,

$E(aX + b) = aE(X) + b$

$V(aX) = a^2 V(X)$.