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COEFFICIENTS BINOMIAUX ET TRIANGLE DE PASCAL

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Coefficients binomiaux - Propriétés

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Coefficients binomiaux - Propriétés 

 

Propriétés :

 

1) Pour tout $n \in \mathbb{N},$

$\left ( \begin{array}{c} n \\ 0 \end{array} \right )  = 1$ car cela correspond au chemin où il n’y a que des échecs, et il n’y en a qu’un seul.

$\left ( \begin{array}{c} n \\ n  \end{array} \right )  = 1$ car cela correspond au chemin où il n’y a que des succès, et il n’y en a qu’un seul.

$\left ( \begin{array}{c} n \\ 1 \end{array} \right )  = n$

 

2) Pour tout $n \in \mathbb{N}$ et $0 \leq k \leq n$

$\left ( \begin{array}{c} n \\ n - k \end{array} \right )  = \left ( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right ) $, c’est une propriété de symétrie. 

 

3) Pour tout $n \in \mathbb{N}$ et $0 \leq k \leq n$

$\left ( \begin{array}{c} n \\  k \end{array} \right ) + \left ( \begin{array}{c} n \\ k  + 1\end{array} \right )  = \left ( \begin{array}{c} n + 1 \\ k + 1 \end{array} \right ) $

 

Exemples :

Calculons $\left ( \begin{array}{c} 6 \\  5 \end{array} \right ) $ qui est égal à $\left ( \begin{array}{c} 6 \\  6 - 5 \end{array} \right ) = \left ( \begin{array}{c} 6 \\  1 \end{array} \right ) = 6 $

Calculons $\left ( \begin{array}{c} 4 \\  2 \end{array} \right ) $ qui est égal à $\left ( \begin{array}{c} 3 + 1 \\  1 + 1 \end{array} \right )$.

On applique alors la propriété 3) avec $k = 1$ et $n = 3$, $\left ( \begin{array}{c} 6 \\  5 \end{array} \right ) =  \left ( \begin{array}{c} 3 \\  1 \end{array} \right ) + \left ( \begin{array}{c} 3 \\  1 \end{array} \right ) = 3 + \left ( \begin{array}{c} 2 + 1 \\  1 + 1 \end{array} \right )$ (en appliquant les propriétés 1) $ = 3 + \left ( \begin{array}{c} 2 \\  1 \end{array} \right )  + \left ( \begin{array}{c} 2 \\  2 \end{array} \right ) = 3 + 2 + 1 $ (en appliquant les propriétés 1) $ = 6 $

 

La calculatrice permet de calculer directement les coefficients binomiaux.