Première > Mathématiques > Probabilités > Coefficients binomiaux et triangle de Pascal

COEFFICIENTS BINOMIAUX ET TRIANGLE DE PASCAL

Accède gratuitement à cette vidéo pendant 7 jours

Profite de ce cours et de tout le programme de ta classe avec l'essai gratuit de 7 jours !

Démarrer l'essai gratuit

Triangle de Pascal

Permalien

Télécharger la fiche de cours Les téléchargements sont réservés uniquements aux abonnés

Le triangle de Pascal 

 

Le triangle de Pascal permet de trouver les valeurs de $k$ parmi $n$, c’est à dire les coefficients binomiaux.

La première ligne contient les valeurs de $k$ alors que la première colonne contient les valeurs de $n$.

La première colonne ($k = 0$) se remplit à partir de la formule $\left ( \begin{array}{c} n \\ 0 \end{array} \right )  = 1$ 

La diagonale ($k = n$) se remplit à l’aide de la formule $\left ( \begin{array}{c} n \\ n  \end{array} \right )  = 1$.

La deuxième colonne ($k = 1$) se remplit à l’exception de la première case (car $k$ doit être inférieur à $n$) à l’aide de la formule $\left ( \begin{array}{c} n \\ 1 \end{array} \right )  = n$.

Ainsi, par exemple la troisième ligne ($n = 2$) vaut $ \left ( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right )  = 2$. 

 

Comme $k$ doit être inférieur à $n$, on ne peut remplir que la partie inférieure du tableau : il apparait alors un triangle. 

 

Pour remplir le reste du tableau, on utilise la formule suivante

$\left ( \begin{array}{c} n \\  k \end{array} \right ) + \left ( \begin{array}{c} n \\ k  + 1\end{array} \right )  = \left ( \begin{array}{c} n + 1 \\ k + 1 \end{array} \right ) $.

Cette dernière se traduit par le fait qu’une case correspond à la somme du coefficient de la case du dessus et du coefficient de la case à gauche de cette dernière. 

Ainsi, par exemple $\left ( \begin{array}{c} 3 \\  2  \end{array} \right ) =   \left ( \begin{array}{c} 2 \\ 2\end{array} \right )  +  \left ( \begin{array}{c}2 \\ 1 \end{array} \right ) = 1 + 2 = 3$

 

On obtient alors le tableau suivant : 

triangle_pascal

 

On retrouve la propriété de symétrie des coefficients :

$\left ( \begin{array}{c} n \\ n - k \end{array} \right )  = \left ( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right ) $.