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L'INCONTOURNABLE DU CHAPITRE

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Formules de la loi binomiale

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Formules de la loi binomiale

 

On considère une expérience suivant un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$. Un schéma de Bernoulli est la répétition de $n$ expériences de Bernoulli indépendantes de paramètre $p$, la probabilité du succès.

La variable aléatoire associée est $X$ et compte le nombre de succès au cours des $n$ répétitions.

On notera alors que $X$ suit la loi $\mathcal{B}(n; p)$.

De plus, $X$ est compris entre 0 et $n$. 

 

Calculs de probabilités

 

La probabilité d'obtenir exactement $k$ succès vaut :

$P(X = k) = \left ( \begin{array}{c} n \\ k \\ \end{array} \right ) p^k \ (1 - p)^{n - k}$. 

 

Espérance, écart-type

 

L'espérance d'une loi binomiale est $E(X) = n \times p$ et son écart-type vaut $\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}$.

 

Exemple : 
On lance un dé quatre fois. On cherche la probabilité d'obtenir trois fois le nombre 6. 

On répète donc quatre fois de manière indépendante l'expérience de Bernoulli de paramètre $p = \dfrac{1}{6}$.

En effet, lors d'un lancé, la probabilité d'obtenir un 6 est $p = \dfrac{1}{6}$.

On définit ainsi un schéma de Bernoulli de paramètres $n = 4$ et $p = \dfrac{1}{6}$.

 

$X$ suit donc une loi $\mathcal{B} \left (4; \dfrac{1}{6} \right)$.

Ainsi, on cherche à calculer $P(X = 3)$.

En appliquant la formule, 

$ P(X = 3)  = \left ( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ \end{array} \right ) \left(\dfrac{1}{6} \right )^3  \left (1 - \dfrac{1}{6} \right )^{4 - 3}$

$ P(X = 3)  =4 \times \dfrac{1}{6^3} \times \dfrac{5}{6} $

$ P(X = 3)  =\dfrac{20}{6^4} \approx  0,015 $

Ainsi, la probabilité d'obtenir trois fois le nombre 6 est de 0,015 soit 1,5%.