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STAGE - SUITES ARITHMÉTIQUES

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Suites arithmétiques - Définition

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Suites arithmétiques

 

Définition 

 

Une suite arithmétique est une suite pour laquelle chaque terme permet de déduire le suivant en lui ajoutant le même nombre : la raison $r$.

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Pour définir une suite arithmétique $(u_n)_{(n \in \mathbb{N})}$, il faut un premier terme, $u_0$ généralement, et la raison $r$ ($r \in \mathbb{R}$).

On écrit alors :  $\left \{ \begin{array}{l} u_{n + 1} = u_n + r \\ u_0 \\ \end{array} \right.$

 

Exemple :

Considérons la suite $\left \{ \begin{array}{l} u_{n + 1} = u_n - 7 \\ u_0 = 17 \\ \end{array} \right.$.

On obtient donc $u_1 = 17 - 7 = 10$ et $u_2 = 10 - 7 = 3$. 

Cette définition par récurrence ne permet cependant pas de trouver directement n'importe quel terme de la suite : il faut avoir calculé tous les termes précédents. 

Il existe néanmoins une formule générale, dite explicite, qui permet de calculer n'importe quel terme de la suite.

 

Propriétés

 

Pour tout $n \in \mathbb{N}$ $u_n = u_0 + nr$.

En effet, pour passer de $u_0$ à $u_n$ il faut ajouter $n$ fois la raison.

 

Si le terme donné de la suite n'est pas $u_0$, la formule plus générale est la suivante :

pour tous $n, \ p \in \mathbb{N}, \ u_n = u_p + (n - p)r$.

 

En reprenant l'exemple précédent, on peut déterminer $u_7 = u_0 + 7 \times (-7) = -32$