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STAGE - SOMMES DE TERMES DE SUITES ARITHMÉTIQUES ET GÉOMÉTRIQUES

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Sommes de termes de suites arithmétiques et géométriques - Formules

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Sommes de termes de suites arithmétiques et géométriques : formules

 

Sommes de termes de suites arithmétiques

 

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $\left \{ \begin{array}{l} u_{n + 1} = u_n + r \\ u_0 \end{array} \right.$ où $r$ est la raison ($ r \in \mathbb{R}$). 

On souhaite calculer $S_n = u_0 + u_1 + \ ... + \ u_n$. 

La formule pour calculer cette somme est la suivante : $S_n = \dfrac{(n+1)(u_0 + u_n)}{2}$.

Avant d'appliquer la formule, il faudra prêter une attention particulière au premier terme de la somme ($S_n$ doit commencer par $u_0$). 

Il est possible de retenir cette formule, sans toutefois l'écrire sur une copie, sous la forme :

$S_n = \dfrac{\text{(nombre de termes)(premier terme + dernier terme)}}{2}$

 

Sommes de termes de suites géométriques

 

Soit maintenant $(u_n)$ une suite géométrique définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $\left \{ \begin{array}{l} u_{n + 1} = u_n \times q \\ u_0 \end{array} \right.$ où $q$ est la raison ($ q \in \mathbb{R}$). 

On souhaite calculer $S_n = u_0 + u_1 + \ ... + \ u_n$. 

La formule pour calculer cette somme est la suivante : $S_n = \dfrac{u_0 \times \left(1 - q^{(n +1)} \right)}{1 - q}$ avec $q$ différent de 1.

Avant d'appliquer la formule, il faudra prêter une attention particulière au premier terme de la somme ($S_n$ doit commencer par $u_0$). 

Il est aussi possible de retenir cette formule, sans toutefois l'écrire sur une copie, sous la forme :

$S_n = \dfrac{\text{(premier terme)(1 - raison}^{\text{nombre de termes}} )}{1 -\text{raison}}$