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SUITES ET ALGORITHMES

Exercice d'application


Mathématiques

  • En traversant une plaque de verre teintée, un rayon lumineux perd 20 % de son intensité lumineuse.

    L’intensité lumineuse est exprimée en candela (cd). On utilise une lampe torche qui émet un rayon d’intensité lumineuse réglée à $400$ cd.

    On superpose $n$ plaques de verres identiques ($n$ étant un entier naturel) et on désire mesurer l’intensité lumineuse $I_n$ du rayon à la sortie de la $n-$ième plaque.

    On note $U_0 = 400$ l’intensité lumineuse du rayon émis par la lampe torche avant de traverser les plaques (intensité lumineuse initiale). Ainsi, cette situation est modélisée par la suite $(I_n)$.

    1. Montrer par un calcul que $I_1= 320$.

    2. a. Pour tout entier naturel $n$ , exprimer $I_{n+1}$ en fonction de $I_n$.

        b. En déduire la nature de la suite $(I_n)$. Préciser sa raison et son premier terme.

        c. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $I_n$ en fonction de $n$.

    3. On souhaite déterminer le nombre minimal $n$ de plaques à superposer afin que le rayon initial ait perdu au moins 70 % de son intensité lumineuse initiale après sa traversée des plaques.

        a. Afin de déterminer le nombre de plaques à superposer, on considère la fonction Python suivante.

    cd9ead69ce5efdee70e6803a4412dcb73515bb73.png

         Préciser, en justifiant, le nombre $j$ de sorte que l’appel nombrePlaques(j) renvoie le nombre de plaques à superposer.

         b. Le tableau suivant donne des valeurs de $I_n$. Combien de plaques doit-on superposer ?

    $n$ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$
    $I_n$ $400$ $320$ $256$ $204,8$ $163,84$ $131,07$ $104,85$ $83,886$
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