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STAGE - COSINUS ET SINUS D’UN NOMBRE RÉEL

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Cosinus et sinus d'un nombre réel

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Cosinus et Sinus d'un nombre réel. Valeurs remarquables. 

 

I) Cosinus et Sinus d'un angle


a) Définition

Dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ et orienté dans le sens direct (sens anti-horaire), on considère un cercle trigonométrique de centre $O$ et de rayon 1.

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Pour tout réel $x$, considérons le point $N$ de la droite orientée d'abscisse $x$. Cette droite est la droite des réelles et est tangente au cercle trigonométrique au point de coordonnées $(1, 0)$.

A ce point $N(x)$, on fait correspondre par enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique un point $M$. 
On appelle $H$ et $K$ les pieds respectifs des perpendiculaires à l'axe des abscisses et à l'axe des ordonnées passant par $M$. 
Le cosinus du nombre réel $x$ est l'abscisse de $M$, c'est à dire la distance $OH$, et on le note $\cos(x)$. 
Le sinus du nombre réel $x$ est l'ordonnée de $M$, c'est à dire la distance $OK$, et on le note $\sin(x)$.

b) Lien avec le sinus et le cosinus dans un triangle rectangle

Si à $x$ correspond une mesure d'angle aigu, c'est à dire inférieure à $90$° ou $\dfrac{\pi}{2}$ radians, alors on retrouve la définition du cosinus et sinus dans un triangle rectangle.
On se place dans le triangle $OMH$, rectangle en $H$ par définition du point $H$.

$\cos(x) = \dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \dfrac{OH}{OM}$.

Or $[OM]$ est le rayon du cercle trigonométrique de rayon 1, donc $OM = 1$.

Ainsi, $\cos(x) = \dfrac{OH}{OM} = \dfrac{OH}{1} = OH$.

De même, $\sin(x) = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} = \dfrac{HM}{OM} = \dfrac{OK}{OM} = \dfrac{OK}{1}  = OK$.

La différence entre les nouvelles définitions du cosinus et sinus et celles dans un triangle rectangle est que $x$ peut désormais prendre toutes les valeurs réelles possibles . 

 

II) Valeurs remarquables 

 

On commence par calculer la hauteur d'un triangle équilatéral de côté $1$.

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Dans ce triangle, la hauteur et la médiatrice sont confondues, donc la hauteur coupe le segment en deux segments de même longueur.
On se place dans le triangle rectangle $ABC$, rectangle en $A$. D'après le théorème de Pythagore on a : 
$BC^2 = AB^2 + AC^2$ c'est à dire $1^2 =\left ( \dfrac{1}{2} \right )^2 + h^2 $ c'est à dire $ 1 - \dfrac{1}{4} = h^2$ donc $h = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Calculons ensuite le côté $a$ d'un carré de diagonale $1$. 

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Pour calculer les valeurs remarquables, on utilise le cercle trigonométrique sur lequel on a inscrit différents angles.

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Lorsque $x = 0$, l'abscisse vaut $1$ et l'ordonnée vaut $0$.

Lorsque $x = \dfrac{\pi}{6}$, on souhaite calculer l'abscisse correspondante. Pour cela, on se place dans le triangle rouge, dont un angle vaut $2 \times \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{3}$ et dont deux côtés valent $1$ : c'est donc un triangle équilatéral.

On cherche ainsi à calculer la hauteur dans un triangle équilatéral, c'est à dire $h = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$. L'ordonnée de $x$ vaut $\dfrac{1}{2}$ car la hauteur coupe le segment dans un triangle équilatéral en son milieu.

Lorsque $x = \dfrac{\pi}{4}$, on se place dans le carré vert. On cherche à calculer le côté d'un carré de diagonale $1$ c'est à dire $a =\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. Comme il s'agit d'un carré, l'abscisse et l'ordonnée sont égales et valent $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

Lorsque $x = \dfrac{\pi}{3}$, on se place dans le triangle équilatéral bleu et on cherche à calculer l'abscisse de la hauteur qui coupe le segment en son milieu, donc l'abscisse vaut $\dfrac{1}{2}$. L'ordonnée correspond à la hauteur d'un triangle équilatéral de côté $1$ c'est à dire $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Lorsque $x = \dfrac{\pi}{2}$, l'ordonnée vaut $1$ et l'abscisse vaut $0$.

Lorsque $x = \pi$, l'abscisse vaut $-1$ et l'ordonnée vaut $0$.

On regroupe alors les données dans un tableau :

$x$ 0 $ \dfrac{\pi}{6}$ $ \dfrac{\pi}{4}$ $ \dfrac{\pi}{3}$ $\dfrac{\pi}{2}$ $\pi$
$\cos(x)$ 1 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ $\dfrac{1}{2}$ 0 -1
$\sin(x)$ 0

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 1 0