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L'INCONTOURNABLE DU CHAPITRE

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Vecteurs colinéaires

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Vecteurs colinéaires

 

Définition

 

Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs,

$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires si et seulement si il existe un réel $k$ tel que $\overrightarrow{v} = k \overrightarrow{u}$.

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(Dans ce cas, $\overrightarrow{u}=-2\times \overrightarrow{v}$ et le réel $k$ vaut $-2$)

 

Des vecteurs colinéaires sont portés par des droites parallèles : ils ont donc la même direction mais pas forcément le même sens

La colinéarité se voit sur un graphique avec la pente des vecteurs, même si cela ne constitue pas une preuve. 

 

Critère de colinéarité (dans un repère)

 

Soit un repère $(O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$,

Soient deux vecteurs $\overrightarrow{u} \left ( \begin{array}{c} x \\y \\ \end{array} \right )$ et $\overrightarrow{v} \left ( \begin{array}{c} x' \\ y' \\ \end{array} \right )$,

$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires si et seulement si $x\times y' - y \times x' = 0$. 

Cela revient à dire que les coordonnées des vecteurs sont proportionnelles

 

Considérons $\overrightarrow{u} \left ( \begin{array}{c} 3 \\ 2\\ \end{array} \right )$ et $\overrightarrow{v} \left ( \begin{array}{c} 9 \\ 6 \\ \end{array} \right )$, il apparait que $\overrightarrow{v} = 3 \overrightarrow{u}$.

D'après la définition, ces deux vecteurs sont colinéaires. 

Si on applique le critère de colinéarité, on trouve $3\times 6 - 2 \times 9 = 18 - 18 = 0$ : les deux vecteurs sont colinéaires.