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RELATION DE CONJUGAISON ET GRANDISSEMENT

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Relation de conjugaison de Descartes

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Relation de conjugaison de Descartes

 

La relation de conjugaison de Descartes est une relation très importante en optique géométrique.

 

I. Convention, distances algébriques

 

relation-conj 

La ligne horizontale correspond à l’axe optique et la lentille (L) est représentée par une double flèche verticale. La lentille possède un centre $O,$ un point focal image $F’$ (ou foyer image) et un point focal objet $F$ (ou foyer objet). Les points $F$ et $F’$ sont équidistants de $O.$

 

Convention pour les distances algébriques :

- On note les distances algébriques avec un trait horizontal au dessus de la distance normale.

- Est compté positif ce qui va de gauche à droite.

- Est compté positif ce qui va de bas en haut.

 

Exemples

$OF’>0$ distance normale : distance séparant $O$ et $F’$

$\overline{OF'}>0$ distance algébrique positive : pour aller de $O$ à $F’,$ on se déplace selon la convention positive. On a donc $\overline{OF'}=OF’$ (et $OF’$ s’exprime en mètres)

$\overline{OF}<0$ distance algébrique négative : pour aller de $O$ à $F,$ on se déplace selon la convention négative. On a donc $\overline{OF}=-OF$

 

Définition

$f’=\overline{OF'}$

$f’$ est la distance focale de la lentille : c’est la distance algébrique entre $O$ et $F’.$

$f’$ est positif pour les lentilles convergentes. En effet, pour les lentilles convergentes, le point focal image est à droite du centre de la lentille. 

 

II. Relation de conjugaison de Descartes

 

L’utilité de la relation de Descartes est de connaître la position de l’image d’un objet à travers une lentille.

 

image-relle4

 

Graphiquement, il est possible de trouver l’image $A’B’$ d’un objet $AB.$ Pour cela, il suffit de faire partir de $B$ des rayons particuliers :

- le rayon passant par $O$ qui n’est jamais dévié,

- le rayon parallèle à l’axe optique qui ressort de la lentille en passant par le point focal image $F’.$

Le point d’intersection de ces deux rayons particuliers donne $B’,$ l’image de $B$ par la lentille $L.$ On trouve $A’$ l’image de $A$ en projetant verticalement $B’$ sur l’axe optique.

On a donc trouvé graphiquement la position de l’image de $A$ à travers la lentille. Maintenant, il est possible d’utiliser une formule pour trouver la position de $A’$ :

 

La relation de conjugaison de Descartes $\dfrac{1}{\overline{OA'}}-\dfrac{1}{\overline{OA}}=\dfrac{1}{f'}$

avec $\overline{OA}$: distance algébrique lentille objet.

$\overline{OA’}$: distance algébrique lentille image.

$f’$ : distance focale.

 

Remarque

$\overline{OA}$,$\overline{OA’}$ et $f’$ sont des distances et s’expriment donc en mètres. Cependant, comme l’équation ne prend en compte que des distances, il est possible de les exprimer en centimètres, en millimètres, etc., du moment que toutes les distances aient la même unité. Attention, l’utilisation des unités autres que celle du système international est possible dans ce cas, mais de manière générale, il est recommandé d’être vigilant sur la cohérence des unités.

 

Exemple

$f’=10 \ cm,$ objet-lentille : $1\ m$

Où est $A’,$ l’image de $A$ par la lentille ?

En utilisant la relation de conjugaison de Descartes, on va isoler $\overline{OA’}$ car c’est la position de $A’$ qui est recherchée.

$\dfrac{1}{\overline{OA'}}-\dfrac{1}{\overline{OA}}=\dfrac{1}{f'}=9,0 \ m^{-1}$

On a donc $\overline{OA’}=1,1.10^{-1}=11 \ cm$

 

Remarque

$\dfrac{1}{\overline{OA'}}$ s’exprime en $m^{-1}$ car c’est $1$ sur des mètres.

L’énoncé donnait la distance objet-lentille. Cependant, l’objet est à gauche de la lentille. Ici, on a donc $\overline{OA}=-1$

$\overline{OA’}>0$ : l’image se situe à droite de $O.$