STAGE - RELATIONS ENTRE VARIABLES

Relation entre variables 

 

La physique et les mathématiques fournissent un certain nombre de formules.

Par exemple, la vitesse est donnée par la formule $\text{V} = \dfrac{\text{D}}{\text{T}}$, avec $\text{D}$ la distance et $\text{T}$ le temps.

La tension électrique $\text{U}$ est donnée par la formule $\text{U}= \text{R} \text{I}$, avec $\text{R}$ la résistance et $\text{I}$ l'intensité. 

Le périmètre d'un cercle se calcule à partir de la formule $P = 2\pi R$ et le volume d'un parallélépipède à partir de la formule $V = abc$. 

 

Principe de relations entre variables

Dans un exercice, le but sera de déterminer une variable en connaissant les autres.

On commence donc par écrire la formule adaptée puis de remplacer à la seconde ligne par les valeurs connues. 

Si dans un exercice on connait la distance et le temps, on peut alors appliquer la formule $\text{V} = \dfrac{\text{D}}{\text{T}}$ en faisant attention aux unités. 

Si à l'inverse on connait la vitesse et le temps, on se demande comment trouver la distance.

Il ne s'agit plus d'appliquer une formule mais de résoudre une équation. Pour trouver la distance, il s'agit donc d'isoler cette dernière dans la formule.

Pour ce faire, on multiplie à gauche et à droite par ${\text{T}}$  ce qui permet d'obtenir ${\text{T}}{\text{V}} = {\text{D}}$.

Si on souhaite connaitre le temps, on divise à gauche et à droite par la vitesse et on obtient $\text{T} = \dfrac{\text{D}}{\text{V}}$. 

 

Exemples :

a) On souhaite résoudre l'équation $3 = \dfrac{2}{x}$.

On applique la méthode précédente.

On multiplie à gauche et à droite par $x$ : $3x = 2$.

Puis on divise à gauche et à droite par $3$.

Ainsi, $x = \dfrac{2}{3}$. 

 

b) On veut résoudre l'équation $-\dfrac{4}{3} = \dfrac{x}{2}$

On multiplie à gauche et à droite par $2$ et on obtient ainsi $-\dfrac{-8}{3} = x$. 

 

c) Enfin, on souhaite résoudre l'équation $-7x = 4$. 

Pour trouver $x$ on divise à gauche et à droite par $-7$.

Ainsi $\dfrac{-7x}{-7} = \dfrac{4}{-7}$ et finalement

$x = \dfrac{-4}{7}$. 

 

La relation $ax + by = c$

 

Exemple $3x + 2y = 4$.

Si $x = 2$ alors on obtient l'équation suivante $6 + 2y = 4$ ou encore

$2y = 4 - 6 = -2$ et en divisant à gauche et à droite par $2$ on aboutit à $y = -1$. 

 

Si $y = -3$ alors on obtient l'équation suivante $3x -6 = 4$ ou encore

$3x = 4 + 6 = 10$ et en divisant à gauche et à droite par $x$ on aboutit à $x = \dfrac{10}{3}$. 

On peut aussi exprimer une inconnue en fonction de l'autre.

Exprimons donc $y$ en fonction de $x$ :

On a $2y = 4 - 3x$ et en divisant par $2$ à gauche et à droite on a $y = 2 - \dfrac{3x}{2}$.

 

Exprimons enfin $x$ en fonction de $y$ :

On a $3x = 4 - 2y$ et en divisant par $3$ à gauche et à droite on a $X = \dfrac{4}{3} - \dfrac{2y}{3}$.