AIRE D'UN TRIANGLE

Expression de l'aire d'un triangle  : $A = \dfrac{1}{2} ab \sin(\widehat{C})$

I) Expression de l'aire d'un triangle à l'aide du sinus d'un angle du triangle 

Soit $ABC$ un triangle quelconque,
on note $a$ la longueur $[BC]$, située en face du point $A$,
on note $b$ la longueur $[AC]$, située en face du point $B$,
on note $c$ la longueur $[AB]$, située en face du point $C$,
on trace la hauteur issue de $B$ (ou relative à $[CA]$) et on note $H$ le point d'intersection de la hauteur et du segment $[AC]$. 

L'aire du triangle $ABC$ est donnée par la formule : $A = \dfrac{1}{2} ab \sin(\widehat{C})$

Preuve :

La formule usuelle pour calculer l'aire d'un triangle est : $\dfrac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2} = \dfrac{b \times BH}{2}$.

On cherche à exprimer la valeur de la hauteur $[BH]$ à partir des données précédentes. 

On se place alors dans le triangle rectangle $BCH$, rectangle en $H$ et on utilise l'angle $\widehat{C}$. 

On souhaite alors relier $a, \, BH$ et $\widehat{C}$ : on utilise donc la formule du sinus :

$\sin(\widehat{C}) = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} = \dfrac{BH}{a}$. 

Ainsi, $BH = a \times \sin(\widehat{C})$. 

En remplaçant dans la formule de l'aire la valeur de $BH$ par celle trouvée précédemment, on obtient la formule suivante :

$\text{Aire } = \dfrac{1}{2} ab \sin(\widehat{C})$

II) Application 

Soit $ABC$ un triangle dont certaines dimensions sont données sur le schéma suivant. 

1) Calcul de l'aire du triangle $ABC$

On applique pour se faire la formule précédente.

$\text{Aire } = \dfrac{1}{2} ab \sin(\widehat{C}) = \dfrac{11 \times 12 \times \sin(63°)}{2} \approx 58,8 $ cm$^2$. 

2) Calcul de la hauteur 

Pour calculer la hauteur, on utilise la formule usuelle de l'aire qui fait intervenir la hauteur :

$\mathcal{A} = \dfrac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}$

On isole alors la hauteur de cette équation car les autres valeurs qui interviennent sont connues :

$h = \dfrac{2 \mathcal{A}}{\text{base}}$

Ainsi, $h \approx \dfrac{2 \times 58,8}{12} \approx 9,8$ cm.