Seconde Générale > Mathématiques > Géométrie plane > L'incontournable du chapitre
Exercice : Géométrie plane et fonctions
On considère un triangle $ABC$ tel que : $AB = 17,5$ cm ; $BC = 14$ cm ; $AC = 10,5$ cm.
Partie 1
1) Démontrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $C$.
2) Soit $P$ un point du segment $[BC]$.
La parallèle à la droite $(AC)$ passant par $P$ coupe le segment $[AB]$ en $R$.
La parallèle à la droite $(BC)$ passant par $R$ coupe le segment $[AC]$ en $S$.
Montrer que le quadrilatère $PRSC$ est un rectangle.
3) Dans cette question, on suppose que le point $P$ est situé à $5$ cm du point $B$.
A) Montrer que la longueur $PR$ est égale à $3,75$ cm.
B) Quelle est la longueur de $PC$ ?
C) Calculer l’aire du rectangle $PRSC$.
Partie 2
On déplace le point $P$ sur le segment $[BC]$ et on souhaite savoir quelle est la position du point $P$ pour laquelle l’aire du rectangle $PRSC$ est maximale.
1) L’utilisation d’un tableur a conduit au tableau de valeurs suivant :
Longueur $BP$ en cm |
$0$ |
$1$ |
$3$ |
$5$ |
$8$ |
$10$ |
$12$ |
$14$ |
Aire de $PRSC$ en cm$^2$ |
$0$ |
$9,75$ |
$24,75$ |
$…$ |
$36$ |
$…$ |
$18$ |
$0$ |
A) Indiquer sur la copie les deux valeurs manquantes du tableau.
B) Justifier par un calcul la valeur trouvée pour BP = 10 cm.
2) Un logiciel a permis d’obtenir la représentation graphique suivante :
À l’aide d’une lecture graphique, répondre aux questions en faisant apparaître sur le graphique de la feuille ci-dessus les tracés nécessaires.
A) Les valeurs de $BP$ pour lesquelles le rectangle $PRSC$ a une aire de $18$ cm$^2$.
B) La valeur de $BP$ pour laquelle l’aire du rectangle semble maximale.
C) Un encadrement à $1$ cm$^2$ près de l’aire maximale du rectangle $PRSC$.
Partie 3
1) Exprimer $PC$ en fonction de $BP$.
2) Démontrer que $PR$ est égale à $0,75 \times BP$.
3) Pour quelle valeur de $BP$ le rectangle $PRSC$ est-il un carré ?
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