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L'INCONTOURNABLE DU CHAPITRE

Exercice d'application


Géométrie plane

  • Exercice : Géométrie plane et fonctions

    On considère un triangle $ABC$ tel que : $AB = 17,5$ cm ; $BC = 14$ cm ; $AC = 10,5$ cm.

    geometrie_plane_triangle.jpg

    Partie 1

    1) Démontrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $C$.

    2) Soit $P$ un point du segment $[BC]$.

    La parallèle à la droite $(AC)$ passant par $P$ coupe le segment $[AB]$ en $R$.

    La parallèle à la droite $(BC)$ passant par $R$ coupe le segment $[AC]$ en $S$.

    Montrer que le quadrilatère $PRSC$ est un rectangle.

     

    3) Dans cette question, on suppose que le point $P$ est situé à $5$ cm du point $B$.

    A) Montrer que la longueur $PR$ est égale à $3,75$ cm.

    B) Quelle est la longueur de $PC$ ?

    C) Calculer l’aire du rectangle $PRSC$.


    Partie 2

    On déplace le point $P$ sur le segment $[BC]$ et on souhaite savoir quelle est la position du point $P$ pour laquelle l’aire du rectangle $PRSC$ est maximale.

    1) L’utilisation d’un tableur a conduit au tableau de valeurs suivant : 

    Longueur $BP$ en cm

    $0$

    $1$

    $3$

    $5$

    $8$

    $10$

    $12$

    $14$

    Aire de $PRSC$ en cm$^2$

    $0$

    $9,75$

    $24,75$

    $…$

    $36$

    $…$

    $18$

    $0$ 

    A) Indiquer sur la copie les deux valeurs manquantes du tableau.

    B) Justifier par un calcul la valeur trouvée pour BP = 10 cm.

     

    2) Un logiciel a permis d’obtenir la représentation graphique suivante :

    representation_graphique_courbe_.jpg

    À l’aide d’une lecture graphique, répondre aux questions en faisant apparaître sur le graphique de la feuille ci-dessus les tracés nécessaires.

    A) Les valeurs de $BP$ pour lesquelles le rectangle $PRSC$ a une aire de $18$ cm$^2$.

    B) La valeur de $BP$ pour laquelle l’aire du rectangle semble maximale.

    C) Un encadrement à $1$ cm$^2$ près de l’aire maximale du rectangle $PRSC$.

      

    Partie 3

    1) Exprimer $PC$ en fonction de $BP$.

    2) Démontrer que $PR$ est égale à $0,75 \times BP$.

    3) Pour quelle valeur de $BP$ le rectangle $PRSC$ est-il un carré ?

     

     

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