L'INCONTOURNABLE DU CHAPITRE

Géométrie plane

• Exercice : Géométrie plane et fonctions

  On considère un triangle $ABC$ tel que : $AB = 17,5$ cm ; $BC = 14$ cm ; $AC = 10,5$ cm.

  

  Partie 1

  1) Démontrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $C$.

  2) Soit $P$ un point du segment $[BC]$.

  La parallèle à la droite $(AC)$ passant par $P$ coupe le segment $[AB]$ en $R$.

  La parallèle à la droite $(BC)$ passant par $R$ coupe le segment $[AC]$ en $S$.

  Montrer que le quadrilatère $PRSC$ est un rectangle.

   

  3) Dans cette question, on suppose que le point $P$ est situé à $5$ cm du point $B$.

  A) Montrer que la longueur $PR$ est égale à $3,75$ cm.

  B) Quelle est la longueur de $PC$ ?

  C) Calculer l’aire du rectangle $PRSC$.

  
  

  Partie 2

  On déplace le point $P$ sur le segment $[BC]$ et on souhaite savoir quelle est la position du point $P$ pour laquelle l’aire du rectangle $PRSC$ est maximale.

  1) L’utilisation d’un tableur a conduit au tableau de valeurs suivant : 

  Longueur $BP$ en cm	$0$	$1$	$3$	$5$	$8$	$10$	$12$	$14$
  Aire de $PRSC$ en cm$^2$	$0$	$9,75$	$24,75$	$…$	$36$	$…$	$18$	$0$

  A) Indiquer sur la copie les deux valeurs manquantes du tableau.

  B) Justifier par un calcul la valeur trouvée pour BP = 10 cm.

   

  2) Un logiciel a permis d’obtenir la représentation graphique suivante :

  

  À l’aide d’une lecture graphique, répondre aux questions en faisant apparaître sur le graphique de la feuille ci-dessus les tracés nécessaires.

  A) Les valeurs de $BP$ pour lesquelles le rectangle $PRSC$ a une aire de $18$ cm$^2$.

  B) La valeur de $BP$ pour laquelle l’aire du rectangle semble maximale.

  C) Un encadrement à $1$ cm$^2$ près de l’aire maximale du rectangle $PRSC$.

    

  Partie 3

  1) Exprimer $PC$ en fonction de $BP$.

  2) Démontrer que $PR$ est égale à $0,75 \times BP$.

  3) Pour quelle valeur de $BP$ le rectangle $PRSC$ est-il un carré ?

   

   

  Afficher la correction

  ---