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IMPLICATIONS ET ÉQUIVALENCES LOGIQUES

LOGIQUE : IMPLICATION ET ÉQUIVALENCE

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Logique - Implication et Equivalence

 

I) Implications

 

1 - Implication

Une assertion est un énoncé mathématique sans ambiguïté susceptible de prendre l'une des valeurs logiques : Vrai ou Faux.

Exemple :

S'il pleut alors il y a des nuages.

 

Il y a trois assertions dans cette phrase.

On note $p$ l'assertion "il pleut", qui peut prendre les valeurs vrai ou faux.

On note $q$ l'assertion "il y a des nuages", qui peut prendre les valeurs vrai ou faux.

Enfin la troisième assertion est "Si $p$ alors $q$" qui se note mathématiquement $p \Rightarrow q$ et se lit $p$ implique $q$; qui peut prendre les valeurs vrai ou faux, et qui dépend des valeurs prises par $p$ et $q$. 

Cette troisième assertion peut se noter "il pleut" $\Rightarrow$ "il y a des nuages. 

Une autre façon de le dire est aussi : il ne pleut pas ou (alors) il y a des nuages : (non $p$) ou $q$. Cette assertion a les mêmes valeurs logiques que $p \Rightarrow q$. 

 

Remarque : l'implication $p \Rightarrow q$ peut être vraie sans que $q$ le soit. 

"Si je mesure 3m50 alors nous sommes en train de dormir". 

A l'évidence, le lecteur de cette phrase n'est pas en train de dormir, donc $q$ est faux. Pour autant, l'implication est vraie.

En effet, l'hypothèse de départ "Je mesure 3m50" est fausse et donc, l'implication est toujours vraie, quelque soit la conclusion de l'implication. 

Pour montrer qu'une implic

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