DÉTERMINANT DE DEUX VECTEURS

Déterminant de deux vecteurs - Critère de colinéarité

I) Déterminant de deux vecteurs dans une base orthonormée 

Définition :

Soit $(\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ une base orthonormée,

Soient $\overrightarrow{u} \left ( \begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \end{array} \right )$ et $\overrightarrow{v} \left ( \begin{array}{c} x_2 \\ y_2 \end{array} \right )$ deux vecteurs exprimés dans cette base,

On appelle déterminant des deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ le réel $x_1y_2 - y_1x_2$.

On note $Det(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = \left | \begin{array}{cc} x_1 & x_2 \\ y_1 & y_2 \end{array} \right | = x_1y_2 - y_1x_2$

Exemples :

$Det(\overrightarrow{i}, \overrightarrow{i}) = \left | \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right | = 1 \times 0 - 0 \times 1 = 0$

$Det(\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}) = \left | \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right | = 1 \times 1 - 0 \times 0 = 1$

II) Colinéarité de deux vecteurs

Définition :

Deux vecteurs non nuls $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires signifie qu'il existe un réel $k$ tel que  $\overrightarrow{u} = k\overrightarrow{v}$.

Si $k>0$, les vecteurs ont le même sens, si $k<0$ les vecteurs sont de sens opposé. 

Exemple avec $k=-3$