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BOOST MATHS - RACINES CARRÉES

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Racines carrées - Définition

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Racines carrées - Définition 

 

1) Définition 

Pour tout nombre positif ou nul $a$, la racine carrée d'un nombre est le nombre qui élevé au carré vaut lui-même, ou encore

pour $a \geq 0$, ${(\sqrt{a})}^2 = a$

Il faudra prêter attention au fait que la racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas

 

Par exemple,

puisque $3^2 = 9$ alors $\sqrt{9} = 3$.

De même, $7^2 = 49$ donc $\sqrt{49} = 7$.

La raciné carrée des premiers carrés parfaits est à connaitre. Un carré parfait est le carré d'un entier. 

 

2) Propriété 

Pour tout réel $a$ positif ou nul et $b$ positif et non nul,

la racine carrée d'un produit est égale au produit des racines : ainsi

$\sqrt{a \times b} =  \sqrt{a} \times \sqrt{b}$.

Par exemple, $\sqrt{18} = \sqrt{6 \times 3} = \sqrt{6} \times \sqrt{3}$.

 

De même, la racine carrée d'une fraction est égale au rapport da la racine du numérateur par la racine du dénominateur :

$\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

Par exemple $\sqrt{\dfrac{5}{3}} =  \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$

 

Ces propriétés sont fausses pour l'addition et la soustraction

En effet, $\sqrt{25} = 5$. Or $25 = 16 + 9$ et $\sqrt{16} + \sqrt{9} = 4 + 3 = 7 \neq 5$, donc

$\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$.