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STAGE - INTERVALLE DE FLUCTUATION

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Intervalle de fluctuation (niveau 2)

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Intervalle de fluctuation - niveau 2

 

Rappel

 

On rappelle la loi faible des grands nombres à travers un exemple :

On lance une pièce 100 fois et on note la fréquence d'apparition du côté face.

Si la pièce est bien équilibrée et la taille de l'échantillon étant suffisante, cette fréquence doit être voisine de 0,5 qui correspond à la probabilité théorique d'obtenir le côté face. 

Dans cette expérience, nous sommes en présence d'un schéma de Bernoulli, c'est à dire la répétition d'une même épreuve 100 fois avec deux issues possibles, ces épreuves étant toutes indépendantes les unes des autres, avec une probabilité de succès constante valant 0,5. 

 

Propriété 

 

Pour environ 95% des échantillons de taille $n$, dans un modèle de Bernoulli, avec $p$ la probabilité du succès, la fréquence d'apparition du succès  appartient à l'intervalle de fluctuation au seuil de 95% donné par :


$ f_{obs} \in I_F = \left [ p - \dfrac{1}{\sqrt{n}}; p + \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right ] $.


Deux conditions sont à vérifier pour que l'intervalle donné soit valide :

$n \geq 25$, la taille de l'échantillon doit être suffisamment grande

$0,2 \leq p \leq 0,8$, la probabilité ne doit pas être trop petite ni trop grande.

 

Applications à la prise de décision 

 

1) On lance 4000 fois une pièce et on obtient 2050 fois le côté pile. On se demande si la pièce est truquée. 

On teste donc l'hypothèse que la pièce n'est pas truquée et donc que $p = 0,5$. 

On vérifie alors les conditions d'applications de la formule :

$p = 0,5 \in [0,2; 0,8]$ et $ n = 4000 \geq 25$.

On peut alors appliquer la formule. 

Si la pièce n'est pas truquée, la fréquence de pile observée $f_{obs} = \dfrac{2050}{4000} = 0,5125$ doit appartenir à l'intervalle de fluctuation

$I_F = \left [0,5 - \dfrac{1}{\sqrt{4000}}; 0,5 + \dfrac{1}{\sqrt{4000}} \right ] \approx [0,484; 0,516]$.

On constante que $0,5125$ apparient à $I_F$, ainsi l'hypothèse que $p=0,5$ n'est pas rejetée, la pièce n'est donc pas truquée.

 

2) Dans une maternité sont nés 132 enfants donc 46 filles. 

On se demande si les naissances se font au hasard, c'est à dire si dans une maternité, il y a autant de chance que cela soit un garçon qui naisse qu'une fille.

 On teste donc l'hypothèse que la probabilité qu'une fille naisse vaut $p = 0,5$. 

Les conditions d'application du théorème sont vérifiées ($ p = 0,5 \in [0,2; 0,8]$ et $n = 132 \geq 25$). 

L'intervalle de fluctuation vaut alors $I_F = \left [0,5 - \dfrac{1}{\sqrt{132}}; 0,5 + \dfrac{1}{\sqrt{132}} \right ] \approx [0,413; 0,587]$.

Or, la fréquence observée de naissance de filles vaut $f_{obs} = \dfrac{46}{132} \approx 0,348 \notin I_F$. 

L'hypothèse que les naissances sont le fruit du hasard est donc rejetée.