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STAGE - INTERVALLE DE FLUCTUATION

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Intervalle de fluctuation - (niveau 1)

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Intervalle de fluctuation - niveau 1

 

Modèle de Bernoulli 

 

On considère une expérience de Bernoulli, c'est à dire une expérience aléatoire ayant uniquement deux issues possibles : succès et échec.

C'est par exemple le cas du lancer d'une pièce, selon l'exercice, obtenir "pile" constituera un succès et obtenir "face" sera un échec.

La probabilité d'obtenir le succès $S$ est $p$ et la somme des deux probabilités devant valoir 1, la probabilité de l'échec, noté $\overline{S}$, vaut $1 - p$.

On répète cette expérience $n$ fois.

La théorie qui suit nécessite que les hypothèses suivantes soient vérifiées : $n \geq 25$ (si ce n'est pas le cas, on considère que le nombre de répétitions n'était pas suffisant pour obtenir un ensemble représentatif de la réalité) et $0,2 \leq p \leq 0,8$.

Lorsque l'on jette une pièce et que l'on observe le résultat, on obtient en théorie "pile" avec une probabilité de $0,5$.

Cependant, lorsque l'on jette par exemple la pièce 10 fois, on n'obtient pas systématiquement 5 fois pile et 5 fois face. Le nombre de "pile" obtenu fluctue donc d'une série de lancers à l'autre, il varie donc un intervalle de fluctuations. 

Ainsi, dans les conditions décrites précédemment, l'intervalle de fluctuation $I_f$ vaut :

$ I_f = \left [p - \dfrac{1}{\sqrt{n}}; p + \dfrac{1}{\sqrt{n}} \right ]$ au seuil de $95 \%$.

Cela signifie que dans $95 \%$ des cas, la probabilité du succès observée appartiendra à l'intervalle. 

 

Exemple : 

Un joueur tire une carte dans un jeu puis la remet.

Le succès dans cette expérience aléatoire est donc d'obtenir un coeur, et la probabilité d'obtenir un coeur est $p = 0,25$. 

Il répète cette expérience $n$ fois.

 

On suppose dans un premier temps que $n = 100$. On a bien $n \geq 25$ et $0,2 \leq p \leq 0,8$.

Ainsi, $I_f = \left [p - \dfrac{1}{\sqrt{100}}; p + \dfrac{1}{\sqrt{100}} \right ]$ c'est à dire :

$I_f =  [0,15; 0,35]$.

Cela signifie donc que si on choisit 100 fois de suite une carte, on obtiendra un coeur entre $15 \%$ et $35 \%$ des cas. 

 

On suppose à présent que $n = 10 000$. On obtient alors :

$I_f =  [0,24; 0,26]$. 

Cela signifie donc que si on choisit 10 000 fois de suite une carte, la fréquence d'apparition d'un coeur variera entre $0,24$ et $0,26$ dans $95\%$ des cas. 

 

En conclusion, plus on répète un grand nombre de fois une expérience, plus les bornes de l'intervalle de fluctuation se resserrent autour de la probabilité théorique $p$.