MÉTHODES : DÉTERMINER DES ÉQUATIONS DE DROITES AVEC LE VECTEUR DIRECTEUR

Déterminer l'équation d'une droite passant par un point et parallèle à $(d')$

1) Critère de colinéarité 

Soit $(\overrightarrow{i}, \overrightarrow{i})$ une base orthonormée et $\overrightarrow{u} \left ( \begin{array}{c} x_1 \\ y _1 \end{array} \right )$ et $\overrightarrow{v} \left ( \begin{array}{c} x_2 \\ y _2 \end{array} \right )$ deux vecteurs exprimés dans cette base.

$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires si et seulement si det($\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = 0$

$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires si et seulement si $ \left| \begin{array}{cc} x_1 & x_2\\ y_1 & y_2 \end{array} \right| = x_1y_2 - y_1x_2 = 0$

2) Equations de droite 

$ax + by + c = 0$ est une équation cartésienne de la droite $(d)$ et $\overrightarrow{u} \left ( \begin{array}{c} -b \\ a \end{array} \right )$ est un vecteur directeur de $(d)$. 

$y = mx + p$ est l'équation réduite de la droite $(d')$ et $\overrightarrow{u} \left ( \begin{array}{c} 1 \\ m \end{array} \right )$ est un vecteur directeur de $(d')$. 

3) Application à la détermination d'une équation d'une droite passant par un point et parallèle à $(d')$

On souhaite déterminer l'équation cartésienne (puis réduite) de la droite $(d)$ passant par le point $A(3; 2)$ et parallèle à la droite $(d')$ d'équation $y = 2x - 1$. 

Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. 

On détermine donc un vecteur directeur de la droite $(d')$ par application de la propriété du cours : $\overrightarrow{u} \left ( \begin{array}{c} 1 \\ m \end{array} \right )$ donc $\overrightarrow{u} \left ( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right )$.

Soit $M(x; y)$ un point du plan,

Si $M \in (d)$; le vecteur $\overrightarrow{AM}$ est alors un vecteur directeur de la droite $(d)$, il est donc colinéaire à $\overrightarrow{u}$.

Ainsi $M \in (d) \iff $ det($ \overrightarrow{u}, \overrightarrow{AM}) = 0 \iff \left| \begin{array}{cc} 1 & x - 3\\ 2 & y - 2 \end{array} \right| = 0 \iff 1 \times (y - 2) -2 (x - 3) = 0 \iff -2x + y - 2 + 6 = 0 \iff -2x + y  + 4 = 0$. 

Une équation cartésienne de la droite $(d)$ est donc $-2x + y + 4 = 0$.

En isolant $y$ dans l'équation précédent, on trouve $y = 2x - 4$ qui est l'équation réduite de la droite $(d)$. 

On souhaite déterminer l'équation cartésienne (puis réduite) de la droite $(d)$ passant par le point $A(1; 2)$ et parallèle à la droite $(d')$ d'équation $y = 3x + 5$. 

Soit $M(x; y)$ un point du plan,

Ainsi $M \in (d) \iff $ det($\overrightarrow{u}, \overrightarrow{AM}) = 0$

$ \iff \left| \begin{array}{cc} 1 & x - 1\\ 3 & y - 2 \end{array} \right| = 0 \iff 1 \times (y - 2) -3(x - 1) = 0 $

$\iff -3x + y - 2 + 3 = 0 \iff -3x + y  + 1 = 0$. 

Une équation cartésienne de la droite $(d)$ est donc $-3x + y + 1 = 0$.

En isolant $y$ dans l'équation précédent, on trouve $y = 3x - 1$ qui est l'équation réduite de la droite $(d)$.