STAGE - LE VECTEUR VITESSE

I. Caractéristiques du vecteur vitesse

Le vecteur vitesse est une valeur. Ce n’est pas seulement une valeur, on ajoute une autre information. En effet, le fait d’utiliser un vecteur pour décrire la vitesse permet d’avoir dans un seul objet plusieurs informations : un sens, une direction et une intensité/norme. Sur un schéma on représente un vecteur par une flèche.

Par exemple un wagon avance, il possède une vitesse qui va vers la droite : c’est dans cette direction que va le wagon. De même la Terre tournant autour du soleil possède un vecteur vitesse à chaque instant.

En reprenant les caractéristiques d’un vecteur, on peut déduire les caractéristiques du vecteur vitesse $\overrightarrow{v}$ :

- la direction : elle doit être tangente à la trajectoire.

- le sens : sens du déplacement,

- la valeur/norme : vitesse en m/s,

Exemple : pour la direction, dans le cas du wagon on a bien la direction tangente à la trajectoire puisque celle-ci est rectiligne. Pour la Terre tournant autour du soleil, il faut prendre la tangente à l’ellipse que parcourt la Terre au cours du temps.

Sur un schéma, on peut trouver la norme de la vitesse grâce à une échelle qui est donnée : par exemple si l’échelle indique que 1 cm correspond à 10m/s alors si la longueur du vecteur sur le schéma est de 2 cm alors sa norme est de 20m/s.

II. Lien avec le vecteur position

Rappel : formule importante à retenir : $v_{moy}= \dfrac{d}{\Delta t }$.

Où,

$v_{moy}$ est la vitesse moyenne en m/s,

$d$ est la distance parcourue en m,

$\Delta t$ est la durée du parcours en s,

C’est une vitesse moyenne car durant la durée du parcours, on ne connait pas la vitesse à chaque instant de l’objet.

Maintenant, si l’on connaît deux points successifs de l’objet :

En reprenant la formule précédente on obtient : $v_{moy}=\dfrac{M(t)M(t+\Delta t)}{\Delta t}$.

En passant à la notion de vecteur, on peut faire l’analogie en remplaçant la vitesse moyenne par son vecteur correspondant et la distance par le vecteur correspondant : $\overrightarrow{v_{moy}}=\dfrac{\overrightarrow{M(t)M(t+\Delta t)}}{\Delta t}$.

Remarque : les deux vecteurs de cette équations sont proportionnels avec un coefficient de proportionnalité $ \frac{1}{\Delta t}$.

Ainsi $\overrightarrow{v_{moy}}$ et $\overrightarrow{M(t)M(t+\Delta t)}$ sont colinéaires.

On peut aussi écrire :

$\overrightarrow{v_{moy}}=\dfrac{\overrightarrow{OM}(t+\Delta t)- \overrightarrow{OM}(t)}{\Delta t}$, où $O$ est l’origine du repère. En effet, le point $M$ peut être représenté par son vecteur position ${\overrightarrow{OM}},$ et ce à chaque instant.

On peut montrer que c’est la même équation car :

$\overrightarrow{v_{moy}}=\dfrac{\overrightarrow{OM}(t+\Delta t)-\overrightarrow{OM}(t)}{\Delta t} $

$=\dfrac{\overrightarrow{OM}(t+\Delta t)+\overrightarrow{MO}(t)}{\Delta t}$

$=\dfrac{\overrightarrow{M(t)M}(t+\Delta t)}{\Delta t}$ grâce à la relation de Chasles.

Question optionnelle

On sait que $\overrightarrow{v_{moy}}$ et $\overrightarrow{M(t)M(t+\Delta t)}$ sont colinéaires.

Cela peut donner l’impression que la vitesse est liée à des succession de points $M,$ alors que dans la première partie il est dit que la vitesse est tangente à la trajectoire. Ainsi, on voit que soit la vitesse est soit définie grâce à une trajectoire, soit définie par une succession de points. Quel est le lien entre les deux ? (Réponse dans le cours suivant.)