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L'INCONTOURNABLE DU CHAPITRE

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FORMES INDÉTERMINÉES

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Formes indéterminées

 

Liste des formes indéterminées

 

Somme de limites : si on a $\large\infty-\infty$, on ne peut pas conclure.

Produit de limites : si on a $\large 0\times \infty$, on ne peut pas conclure.

Quotient de limites : si on a $\large\dfrac{\infty}{\infty}$ ou $\large\dfrac{0}{0}$, on ne peut pas conclure.

Si on rencontre ce genre de situations, il faut connaître les méthodes suivantes pour calculer les limites recherchées.

 

Méthode pour les limites d'un polynôme au voisinage de $\pm \infty$

La limite d'un polynôme en $\pm \infty$ est celle de son terme de plus haut degré.

Exemple : on cherche la limite en $+\infty$ de $f(x)=x^3-2x^2$.

Ici, on remarque que $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} x^3=+\infty$ et $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} x^2=+\infty$ donc $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} x^3-2x^2=\infty-\infty$. C'est donc une forme indéterminée.

On procède alors au calcul suivant : $f(x)=x^3\bigg(1-\dfrac{2}{x}\bigg)$. Or $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} -\dfrac{2}{x}=0$ donc $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} 1-\dfrac{2}{x}=1$ et par théorème d'opérations sur les limites :

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty} f(x)=\displaystyle\lim_{x\to +\infty} x^3 = +\infty$

 

Méthode pour la limite d'une fonction rationnelle au voisinage de $\pm \infty$

La limite d'une fonction rationnelle au voisinage de $\pm \infty$ est celle du rapport de ses termes de plus haut degré.

Exemple : on cherche la limite en $+\infty$ de $g(x)= \dfrac{x+2}{3-x^2}$.

On a $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} x+2=+\infty$ et $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} 3-x^2=-\infty$ donc on est en présence d'une forme indéterminée du type $\dfrac{\infty}{\infty}$.

On peut alors effectuer le calcul suivant : $g(x)= \dfrac{x\bigg(1+\dfrac{2}{x}\bigg)}{x^2\bigg(\dfrac{3}{x^2}-1\bigg)} = \dfrac{1}{x} \times \dfrac{1+\dfrac{2}{x}}{\dfrac{3}{x^2}-1}$.

Or $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \dfrac{2}{x}=0$ et $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \dfrac{3}{x^2}=0$ donc $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \dfrac{1+\dfrac{2}{x}}{\dfrac{3}{x^2}-1}=-1$ puis, par produit de limites :

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty} g(x) =\displaystyle\lim_{x\to +\infty} \dfrac{1}{x} \times

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