ANNALE - FONCTION CONVEXE ET EXPONENTIELLE

Étude de la convexité d'une fonction

Il existe deux principaux théorèmes permettant d'étudier l'éventuelle convexité ou concavité d'une fonction.

Théorème 1 :

Soit $f$ une fonction dérivable sur $I$,

1) $f$ est convexe sur $ I \ \iff \ f'$ est croissante sur $I$

2) $f$ est concave sur $ I \ \iff \ f'$ est décroissante sur $I$

Pour étudier la convexité d'une fonction, il suffit d'étudier les variations de sa dérivée.

Exemple :

Etudions la fonction $f(x) = x^2 -3x +2$ sur l'intervalle $I = \mathbb{R}$.

$f$ est une fonction polynôme, elle est donc dérivable sur $\mathbb{R}$ et $\ f'(x) = 2x - 3$. 

La dérivée de $\ f$ est une fonction affine. Le cours permet de conclure que $\ f'$ est croissante car $2>0$. 

Ainsi, comme $\ f'$ est croissante sur $I$, $f$ est convexe sur $I$.

Théorème 2 :

Soit $f$ une fonction dérivable sur $I$ et on suppose de plus que $\ f''$ existe sur $I$ ($f''$ est la dérivée de la dérivée : c'est la dérivée seconde de $f$),

1) si pour tout $x \in I, \ f''(x) \geq 0$, alors $\ f$ est convexe sur $I$ 

2) si pour tout $x \in I, \ f''(x) \leq 0$, alors $\ f$ est concave sur $I$ 

Ces deux théorèmes sont liés.

En effet, si on suppose que $\ f''(x) \geq 0$, cela implique que $\ f'$ est croissante et dans les deux cas, $f$ est convexe. 

Exemple :

Soit $f(x) = x^2$, on veut démontrer que $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$. 

Soit $x \in \mathbb{R}$, on calcule dans un premier temps $\ f'(x) = 2x$ puis la dérivée seconde $\ f''(x) = 2 \geq 0$.

Ainsi, pour tout $x \in \mathbb{R}, \ f''(x) \geq 0$, donc $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$.