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STAGE - DÉRIVATION, ÉTUDES DE FONCTIONS

Exercice - Étude de fonction composée



L'énoncé

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=\sqrt{x^2+1}-x\)

On note \(C_f\) sa courbe représentative dans un repère \((O,\vec{i},\vec{j})\).


  • Question 1

    Déterminer la limite de \(f\) en \(-\infty\).

  • Question 2

    Démontrer que, pour tout réel \(x\), on a :\(f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}\)

  • Question 3

    En déduire la limite de \(f\) en \(+\infty\) . Donner une interprétation graphique de ce résultat.

  • Question 4

    Justifier que \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et déterminer \(f'(x)\).

  • Question 5

    Vérifier que : \(f'(x)=-\dfrac{f(x)}{\sqrt{x^2+1}}\)

  • Question 6

    En déduire le signe de \(f'(x)\) sur \(\mathbb{R}\).

  • Question 7

    Construire le tableau de variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) et tracer \(C_f\) dans un repère.

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