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VARIATIONS DE FONCTIONS

Exercice - Continuité et dérivabilité - Fonction ln



L'énoncé

Le plan \(P\) est muni d’un repère \((O; \overrightarrow{i};\overrightarrow{j})\).


  • Question 1

    On considère la fonction définie sur \([0:+\infty[\) par \(\left\{ \begin{array}{left} f(x) = \dfrac{\ln(x+1)}{x}, x >0 \\ f(0) = 1 \end{array}\right. \)

    Montrer que \(f\) est continue en 0.

  • Question 2

    Etudier le sens de variation de la fonction \(g\) définie sur \([0;+\infty[\) par \(g(x) = \ln(1+x)-\left( x - \dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}\right)\)

    Calculer \(g(0)\) et en déduire que sur \([0 ;+\infty[\) :
    \(\ln(1+x) \leq \left( x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}\right)\)

  • Question 3

    Par une étude analogue, montrer que si \(x \geq 0\), alors \(\ln(1+x) \geq x-\dfrac{x^2}{2}\)

  • Question 4

    Établir que pour tout \(x\) strictement positif on a : \(-\dfrac{1}{2} \leq \dfrac{\ln(1+x)-x}{x^2} \leq -\dfrac{1}{2}+\dfrac{x}{3}\)

  • Question 5

    En déduire que \(f\) est dérivable en zéro et que \(f'(0) = - \dfrac{1}{2}\)

  • Question 6

    Soit \(h\) la fonction définie sur \([0;+\infty[\) par \(h(x) = \dfrac{x}{x+1}-\ln(1+x)\)

    Etudier son sens de variation et en déduire le signe de \(h\) sur \([0;+\infty[\).

  • Question 7

    Montrer que sur \(]0;+\infty[\), \(f'(x) = \dfrac{h(x)}{x^2}\)

  • Question 8

    Dresser le tableau de variation de \(f\) en précisant la limite de \(f\) au voisinage de \(+\infty\) et tracer \(C_f\) dans le repère.

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