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DÉRIVÉES DE FONCTIONS

Exercice - Étude de fonction rationnelle



L'énoncé

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=\dfrac{x^3-x^2+3x+5}{x^2+3}\)

On note \(C_f\) sa courbe représentative dans un repère  \((O,\vec{i},\vec{j})\)


  • Question 1

    Justifier que \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\).

  • Question 2

    On donne ci dessous le tableau de variations de \(f\) : la fonction \(f\) est strictement croissante sur \(\mathrm{R}\).
    Tableau de variation de f
    Déterminer la limite de \(f\) au voisinage de \(-\infty\) et de \(+\infty\).
    Compléter alors le tableau de variations de \(f\).

  • Question 3

    Soit \(d\) la droite d'équation \(y=x-1\).
    Démontrer que l'on peut écrire : \(f(x)=x-1+\dfrac{8}{x^2+3}\)

  • Question 4

    Déterminer le plus petit entier \(n\) possible tel que si \(x>n\) alors \(f(x)-(x-1)<0,001\).
    Donner une interprétation graphique du résultat (Question hors programme).

  • Question 5

    b. Etudier la position de \(C_f\) par rapport à la droite \(d\).

  • Question 6

    On considère l'équation \(f(x)=3\).
    Démontrer qu'elle admet une solution unique \(x_0\).

    Donner un encadrement de \(x_0\) à \(10^{-2}\) près.

  • Question 7

    Vérifier que \(f'(1)=0\). Donner une interprétation graphique de ce résultat.

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