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PROPRIÉTÉS ANALYTIQUES

Exercice - Continuité et exponentielle



L'énoncé

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}*\) par : \[\left\{ \begin{array}{left} f(x) = \frac{xe^x}{e^x-1} \\ f(0) = 1 \end{array}\right. \] On note \(C_f\) la courbe représentative de \(f\) dans le repère orthonormal \((O ; \overrightarrow{i};\overrightarrow{j})\)


  • Question 1

    Déterminer la limite de \(f\) en \(-\infty\).

  • Question 2

    Etablir que, pour tout nombre réel \(x\) non nul, on a : \[f(x) = x \left( 1 + \frac{1}{e^x-1} \right)\] En déduire la limite de \(f\) en \(+\infty\).

  • Question 3

    Donner, sans démonstration, la limite suivante, \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x}\) et démontrer que \(f\) est continue en 0.

  • Question 4

    Démontrer que, pour tout nombre réel \(x\), on a \(e^x \geq x + 1\), et que l'égalité n'a lieu que pour \(x = 0\).

  • Question 5

    Calculer la dérivée \(f\) de la fonction \(f\) et déterminer la fonction \(g\) telle que, pour tout nombre réel \(x\) non nul, \[f(x) = \frac{e^xg(x)}{(e^x-1)^2}\]

  • Question 6

    Donner les variations de \(f\).

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