Terminale Economique et Sociale > Mathématiques > Graphes > Stage - Graphes

STAGE - GRAPHES

Exercice d'application


Graphes

  • Exercice : Courir ou ne pas courir ? - Annale BAC 2016

    Afin de se préparer à courir des marathons, Hugo aimerait effectuer quotidiennement un footing à compter du 1er janvier 2014.

    On admet que :
    Si Hugo court un jour donné, la probabilité qu'il ne coure pas le lendemain est de $0,2$
    S'il ne court pas un jour donné, la probabilité qu'il ne coure pas le lendemain est de $0,4$

    On note $C$ l'état "Hugo court" et $R$ l'état "Hugo ne court pas ".

    Pour tout entier naturel $n$, on note :
    $c_n$ la probabilité de l'événement "Hugo court le $(n + 1)$-ième jour"
    $r_n$ la probabilité de l'événement "Hugo ne court pas le $(n+1)$-ième jour"
    $P_n$ la matrice $(c_n \; \; r_n)$ correspondant à l'état probabilité le $(n+1)$-ième jour.

    Le 1er janvier 2014, motivé, le jeune homme court.

    On a donc : $P_0 = (c_0 \; \; r_0) = (1 \;\; 0)$

     

    1) Traduire les données de l'énoncé par un graphe probabiliste de sommets $C$ et $R$.

     

    2) Écrire la matrice de transition $M$ de ce graphe en respectant l'ordre alphabétique des sommets.

     

    3) On donne $M^6 = \begin{pmatrix}{0,750016}&{0,249984} \\ {0,749952} & {0,250048} \end{pmatrix}$

    Quel calcul matriciel permet de déterminer la probabilité $c_6$ qu'Hugo coure le 7e jour ?

    Déterminer une valeur approchée à $10^{-2}$ près de $c_6$.

     

    4) A) Exprimer $P_{n+1}$ en fonction de $P_n$.

    B) Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $c_{n+1} = 0,2 c_n + 0,6$.

     

    5) Pour tout entier naturel $n$, on considère la suite $(v_n)$ définie par $v_n = c_n - 0,75$.

    A) Montrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $0,2$. Préciser le premier terme.

    B) Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.

    Déterminer la limite de la suite $(v_n)$.

    C) Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $c_n = 0,75 + 0,25 \times 0,2 ^n$.

    D) Que peut-on conjecturer concernant la probabilité qu'Hugo coure le 29 décembre 2014 ?

    E) Conjecturer alors l'état stable de ce graphe.

    Comment valider votre conjecture ?

La correction et les astuces de cet exercice t'intéressent ?

Accède librement à l'ensemble des contenus, aux astuces et aux corrections des exercices en t'abonnant sur Les Bons Profs. Clique ici pour démarrer l'abonnement.