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GRAPHES

Exercice d'application


Graphes

  • Exercice : Graphes et matrices

    Partie A

    Un club sportif organise une course d’orientation. Sept postes de contrôles (appelés balises) sont prévus.

    Les sept balises notées B1 ; B2 ; . . . ; B7 sont représentées sur le graphe ci-dessous.

    Les arêtes du graphe représentent les chemins possibles entre les balises et sur chaque arête est indiqué le temps de parcours estimé en minutes.

    graphe1

    1) a) Le graphe est-il connexe ? Justifier la réponse.

         b) Existe-t-il un parcours qui permet de revenir à une balise de départ en passant une et une seule fois par tous les chemins ? Justifier la réponse.

         c) Existe-t-il un parcours qui permet de relier deux balises différentes en passant une et une seule fois par tous les chemins ?

    2) Les organisateurs décident de situer le départ à la balise B1 et l’arrivée à la balise B7.

    Chaque participant doit rallier la balise B7 en un minimum de temps. Ils ne sont pas tenus à emprunter tous les chemins.

    Quelle est la durée minimale du parcours possible et quel est ce parcours ? Justifier votre réponse à l’aide d’un algorithme.

     

    Partie B

    Depuis l’année 2011, ce club sportif propose à ses licenciés une assurance spécifique. La première année, 80% des licenciés y ont adhéré.

    En 2012, 70% des licenciés ayant adhéré en 2011 ont conservé cette assurance et 60% de ceux n’ayant pas adhéré en 2011 ont adhéré en 2012.

    En supposant que cette évolution se maintienne, le club sportif souhaite savoir quel pourcentage de licenciés adhèrera à cette assurance à plus long terme.

    On note :

    $A$ « le licencié est assuré »

    $B$ « le licencié n’est pas assuré »

    Pour tout entier $n$ non nul, l’état probabiliste du nombre d’assurés l’année $2011+n$ est défini par la matrice ligne :

    $P_n \begin{pmatrix} x_n&y_n \end{pmatrix}$ où $x_n$  désigne la probabilité pour un licencié d’être assuré l’année  $2011+n$.

     

    1) Représenter cette situation par un graphe probabiliste de sommets $A$ et $B$.

    2) Écrire la matrice de transition $M$ de ce graphe en prenant les sommets $A$ et$B$ dans cet ordre.

    3) En remarquant que $P_0 = \begin{pmatrix} 0,8&0,2 \end{pmatrix}$, déterminer $P_1$. Interpréter ce résultat.

    4) Le club sportif maintiendra son offre d’assurance spécifique si le nombre d’assurés reste supérieur à $55$%.

    L’évolution prévue lui permet-elle d’envisager le maintien de son offre à long terme ?

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