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LIMITES, DÉRIVÉES

Exercice d'application


Logarithmes népériens

  • Exercice : Fonction ln

    Partie A

    On considère une fonction $g$ définie sur l’intervalle $\left]-\dfrac{1}{2};+\infty\right[$ par:

    $g(x)=-x^2+ax-\ln(2x+b)$ où $a$ et $b$ sont deux réels.

    Calculer $a$ et $b$ pour que la courbe représentative de $g$ dans un plan d’un repère $(O; I, J)$ passe par l’origine du repère et admette une tangente parallèle à l’axe des abscisses au point d’abscisse $\dfrac{1}{2}$. 

     

    Partie B

    Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $\left]-\dfrac{1}{2};+\infty\right[$ par :

    $f(x)=-x^2+2x-\ln(2x+1)$

    On admet que $f$ est dérivable et on note $f'$  sa dérivée.

     

    Le tableau de variation de la fonction $f$ est le suivant :

     tab1

    1) Justifier tous les éléments contenus dans ce tableau.

    2) a) Montrer que l’équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l’intervalle $\left[\dfrac{1}{2};1\right]$.

    b) Donner un encadrement de $\alpha$ d’amplitude $10^{-2}$.

    3) Déterminer le signe de $f(x)$ sur l’intervalle $\left]-\dfrac{1}{2};+\infty\right[$.

     

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