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CROISSANCES COMPARÉES

Exercice - Étude de fonction



L'énoncé

Partie A

Soit la fonction \(f\) définie sur \(]0;+\infty[\) par :  \(f(x) = ax+(bx + c)\ln(x)\)  avec    \(a\), \(b\) et \(c\) des réels.

La courbe \((C)\) représentative de \(f\) est donnée ci-dessous.

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  • Question 1

    En utilisant le graphique et en sachant que \(f(2)=2-3\ln(2)\), justifier que  : \(a=c=1\) et \(b=-2\).

  • Question 2

    Partie B
    On considère alors la fonction \(g\) définie sur \(]0;+\infty[\) par : \(g(x) = x+(1-2x)\ln(x)\)

    Déterminer la limite de \(g\) au voisinage de $0$ par valeur supérieure.

  • Question 3

    Déterminer la limite de \(g\) au voisinage de \(+\infty\).

  • Question 4

    Déterminer la fonction dérivée de \(g\).

  • Question 5

    Etudier, pour \(x \in ]0;+\infty[\), le signe de \(-2\ln(x)\) et celui de \(\dfrac{1-x}{x}\).
    En déduire le signe de \(g'(x)\).

  • Question 6

    Dresser le tableau complet des variations de \(g\).

  • Question 7

    Soit la droite \(\Delta\) d'équation \(y=x\).

    Résoudre dans \(\mathbb{R}^*\) l'équation :  \((1-2x)\ln(x) =0\)

  • Question 8

    Etudier la position de la courbe représentative de \(g\) par rapport à \(\Delta\).

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