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LOI NORMALE

Exercice d'application


Lois de probabilité continues

  • Exercice : Loi normale – Loi binomiale

    Tous les résultats numériques devront être donnés sous forme décimale et arrondis au dix-millième.

    Une usine fabrique des billes sphériques dont le diamètre est exprimé en millimètres. Une bille est dite hors norme lorsque son diamètre est inférieur à $9$ mm ou supérieur à $11$ mm.

     

    Partie A

    1) On appelle $X$ la variable aléatoire qui à chaque bille choisie au hasard dans la production associe son diamètre exprimé en mm.


    On admet que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale d’espérance $10$ et d’écart-type $0,4$.

    Montrer qu’une valeur approchée à $0,0001$ près de la probabilité qu’une bille soit hors norme est $0,0124$. On pourra utiliser la table de valeurs donnée en annexe.

    2) On met en place un contrôle de production tel que $98$ % des billes hors norme sont écartées et $99$ % des billes correctes sont conservées.


    On choisit une bille au hasard dans la production. On note :

    $N$ l’événement : « la bille choisie est aux normes »,

    $A$ l’événement : « la bille choisie est acceptée à l’issue du contrôle ».

    a) Construire un arbre pondéré qui réunit les données de l’énoncé.

    b) Calculer la probabilité de l’événement $A$.

    c) Quelle est la probabilité pour qu’une bille acceptée soit hors norme?

     

    Partie B

    Ce contrôle de production se révélant trop coûteux pour l’entreprise, il est abandonné : dorénavant, toutes les billes produites sont donc conservées, et elles sont conditionnées par sacs de 100 billes.

    On considère que la probabilité qu’une bille soit hors norme est de $0,0124$.

    On admettra que prendre au hasard un sac de $100$ billes revient à effectuer un tirage avec remise de $100$ billes dans l’ensemble des billes fabriquées. On appelle $Y$ la variable aléatoire qui à tout sac de $100$ billes associe le nombre de billes hors norme de ce sac.

    1) Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire $Y$ ?

    2) Quels sont l’espérance et l’écart-type de la variable aléatoire $Y$ ?

    3) Quelle est la probabilité pour qu’un sac de $100$ billes contienne exactement deux billes hors norme ?

    4) Quelle est la probabilité pour qu’un sac de $100$ billes contienne au plus une bille hors norme ?

     

     Annexe :

     

      $A$ $B$
    $1$ $d$ $P(X<d)$
    $2$ $0$ $3,06E-138$
    $3$ $1$ $2,08E-112$
    $4$ $2$ $2,75 E-89$
    $5$ $3$ $7,16E-69$
    $6$ $4$ $3,67E-51$
    $7$ $5$ $3,73E-36$
    $8$ $6$ $7,62E-24$
    $9$ $7$ $3,19E-14$
    $10$ $8$ $2,87E$
    $11$ $9$ $0,00620967$
    $12$ $10$ $0,5$
    $13$ $11$ $0,99379034$
    $14$ $12$ $0,99999971$
    $15$ $13$ $1$
    $16$ $14$ $1$
    $17$ $15$ $1$
    $18$ $16$ $1$
    $19$ $17$ $1$
    $20$ $18$ $1$
    $21$ $19$ $1$
    $22$ $20$ $1$
    $23$ $21$ $1$
    $24$ $22$ $1$
    $25$    

     

     

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