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CALCULS D'INTÉGRALES

Exercice - Intégrales et suites



L'énoncé

Pour tout entier naturel \(n\), on définit; \(I_n=\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{-nx} \sin(x)dx\)   et   \(J_n=\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{-nx} \cos(x)dx\)


  • Question 1

    Calculer \(I_0\) et \(J_0\).

  • Question 2

    On admet que \(I_n\) et \(J_n\) vérifient le système suivant :  \(\left\{\begin{array}{left} I_n +n J_n = 1 \\ -n I_n + J_n = e^{-n\frac{\pi}{2}} \end{array}\right.\)

    En déduire les expressions de \(I_n\) et \(J_n\) en fonction de \(n\).

  • Question 3

    Déterminer la limite de \(I_n\) et celle de \(J_n\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\).

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