Terminale Economique et Sociale > Mathématiques > Primitives et calcul intégral > Relation de Chasles

RELATION DE CHASLES

Exercice - Suites d'intégrales



L'énoncé

Soit \(f\) la fonction définie sur l'intervalle \(\left[0;+\infty\right]\) par :
\(f(x)=xe^{-x^2}\) On désigne par \(C\) la courbe représentative de la fonction \(f\) dans un repère  \((O; \vec{i}; \vec{j})\) du plan.

Cette courbe est représentée ci-dessous.

0963916f5387bab8103863595adcc36783eb1810.png




  • Question 1

    Partie A
    Déterminer la limite de la fonction \(f\) au voisinage de \(+\infty\).
    On pourra écrire, pour \(x\) différent de 0 : \(f(x)=\dfrac{1}{x}\times \dfrac{x^2}{e^{x^2}}\).

  • Question 2

    Démontrer que \(f\) admet un maximum en \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) et calculer ce maximum.

  • Question 3

    Soit \(a\) un nombre réel positif ou nul.
    Exprimer en unités d'aire et en fonction de \(a\), l'aire \(F(a)\) de la partie du plan delimitée par la courbe \(C\), l'axe des abscisses et les droites d'équation respectives \(x=0\) et \(x=a\).
    Quelle est la limite de \(F(a)\) quand \(a\) tend vers \(+\infty\) ?

  • Question 4

    Partie B
    On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par :
    \(u_n=\displaystyle \int_n^{n+1}f(x)\,dx\) On ne cherchera pas à expliciter \(u_n\).
    Démontrer que, pour tout entier naturel \(n\) différent de $0$ et de $1$ : \(f(n+1)\leq u_n \leq f(n)\)

  • Question 5

    Quel est le sens de variation de la suite \((u_n)\), \({n\geq2}\) ?

  • Question 6

    Montrer que la suite \((u_n)\) converge. Quelle est sa limite ?

  • Question 7

    Vérifier que, pour tout entier naturel strictement positif \(n\),  \(F(n)=\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}u_k\)

  • Question 8

    Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

    On donne ci-dessous les valeurs de \(F(n)\) obtenues à l'aide d'un tableur, pour \(n\) entier compris entre $3$ et $7$.


    Interpréter ces résultats.

    $n$ 3 4 5 6 7
    $F(n)$ 0,4999382951 0,4999999437 0,5 0,5 0,5
La correction et les astuces de cet exercice t'intéressent ?

Accède librement à l'ensemble des contenus, aux astuces et aux corrections des exercices en t'abonnant sur Les Bons Profs. Clique ici pour démarrer l'abonnement.