Terminale Economique et Sociale > Mathématiques > Primitives et calcul intégral > L'incontournable du chapitre

L'INCONTOURNABLE DU CHAPITRE

Exercice - Suite et intégrales



L'énoncé

Pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à $1$, on considère la fonction \(f_n\)  définie sur \([0;1]\) par :   \(f_n(x)=x^n e^{-x}\)

On note \(C_n\) sa représentation graphique dans un repère orthonormé.

On désigne par \((I_n)\) la suite définie pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à $1$ par :


\(I_n= \displaystyle \int_0^1 x^n e^{-x} \, dx\)

On admet que \(I_1 = -2e^{-1}+1\).


  • Question 1

    Dans cette question, toute trace de recherche ou d'intiative, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.


    Sur le graphique ci-dessous, on a représenté les portions des courbes \(C_1,\,C_2,\,C_3,\,C_{10},\,C_{20},\,C_{30}\) avec \(0 \leq x \leq 1\).


    Formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite \((I_n)\) en décrivant la démarche.

  • Question 2

    Démontrer cette conjecture.

  • Question 3

    En déduire que la suite \((I_n)\) est convergente.

  • Question 4

    Déterminer \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} I_n\).

La correction et les astuces de cet exercice t'intéressent ?

Accède librement à l'ensemble des contenus, aux astuces et aux corrections des exercices en t'abonnant sur Les Bons Profs. Clique ici pour démarrer l'abonnement.