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LA LOI BINOMIALE

Exercice - Loi binomiale



L'énoncé

Un jardinier dispose de deux lots 1 et 2 contenant chacun de très nombreux bulbes donnant des tulipes de couleurs variées.
La probabilité pour qu’un bulbe du lot 1 donne une tulipe jaune est égale à \(\dfrac{1}{4}\).
La probabilité pour qu’un bulbe du lot 2 donne une tulipe jaune est égale à \(\dfrac{1}{2}\).
Ce jardinier choisit au hasard un lot et plante 50 bulbes de tulipes.
Soit n un entier naturel vérifiant \(0 \leq n \leq 50\).
On définit les évènements suivants :
– A : « le jardinier a choisi le lot 1 ».
– B : « le jardinier a choisi le lot 2 ».
– Jn : « le jardinier obtient \(n\) tulipes jaunes ».
  • Question 1

    Dans cette question, on suppose que le jardinier choisit le lot 1.
    Quelle loi de probabilité suit le nombre de tulipes jaunes obtenues à partir de 50 bulbes du lot 1 ?

  • Question 2

    Quelle est l'espérance mathématique de cette loi ?

  • Question 3

    Donner une expression de la probabilité que le jardinier obtienne \(n\) tulipes jaunes.

  • Question 4

    Calculer la probabilité que le jardinier obtienne 15 tulipes jaunes. On donnera l'arrondi au millième du résultat.

  • Question 5

    Montrer que : \(P_B(Jn)=\binom{50}{n}2^{-50}\)

  • Question 6

    En déduire la probabilité que le jardinier obtienne \(n\) tulipes jaunes.

  • Question 7

    On note \(Pn\) la probabilité conditionnelle de l'évènement A sachant que \(Jn\) est réalisé.
    Établir que : \(Pn = \dfrac{3^{50-n}}{3^{50-n}+2^{50}}\)

  • Question 8

    Pour quelles valeurs de \(n\) a-t-on \(Pn \geq 0,9\) ? Comment peut-on interpréter ce résultat ?

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