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RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE

Exercice d'application


Suites numériques

  • Exercice : Suites - les fondamentaux

    On considère la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par $u_0 = 1$ et, pour tout $n\in\mathbb{N}$,

    $u_{n+1} = \dfrac{1}{3} u_n + n -2$. 

     

    1) Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.

     

    2) a) Démontrer que pour tout entier naturel $n \ge 4$, $u_n \ge 0$.

    b) En déduire que pour tout entier naturel $n \ge 5$, $u_n \ge n -3$.

    c) En déduire la limite de la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$.

     

    3) On définit la suite $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ par : pour tout $n\in\mathbb{N}$, $v_n = -2u_n + 3_n - \dfrac{21}{2}$.

    a) Démontrer que la suite $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est une suite géométrique dont on donnera la raison et le premier terme.

    b) En déduire que pour tout $n\in\mathbb{N}$,  $u_n = \dfrac{25}{4} \left( \dfrac {1}{3} \right) ^n + \dfrac{3}{2} n - \dfrac{21}{4}$.

    c) Soit la somme $S_n$, définie pour tout entier naturel $n$ par :

    $S_n =\sum\limits^n_{k=0}u_k$.

    Déterminer l'expression de $S_n$ en fonction de $n$.

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