ETUDE DE LA CONVEXITÉ D'UNE FONCTION

Convexité des fonctions de référence

Il s'agit d'apprendre parmi les fonctions usuelles lesquelles sont convexes et lesquelles sont concaves.

1) Fonctions convexes

Les fonctions $x \mapsto x^2$ et $x \mapsto e^x$ sont des fonctions convexes sur $\mathbb{R}$. 

En effet, en reprenant la définition d'une fonction convexe, on peut vérifier que les courbes représentatives de ces deux fonctions sont au-dessus de chacune de leurs tangentes. 

2) Fonctions concaves

Les fonctions $x \mapsto \sqrt{x}$ et $x \mapsto \ln(x)$ sont des fonctions concaves sur $\mathbb{R}^+_*$. 

La fonction racine carrée n'est pas dérivable en $0$, or la notion de convexité nécessite la dérivabilité de la fonction sur l'intervalle d'étude, donc la fonction racine carrée est uniquement concave sur $]0; +\infty [$.

On peut à nouveau vérifier graphiquement que les courbes sont en dessous de leurs tangentes.