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RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE (Accès libre)

Variations d'une suite

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Variations d'une suite

 

Soit $(U_n)$ une suite numérique définie pour tout entier $n$.

Une suite $(U_n)_{(n \in \mathbb{N})}$ est croissante si et seulement si, pour tout entier naturel $n$, $U_{n + 1} \geq U_n$.

Une suite $(U_n)_{(n \in \mathbb{N})}$ est décroissante si et seulement si, pour tout entier naturel $n$, $U_{n + 1} \leq U_n$.

Une suite $(U_n)_{(n \in \mathbb{N})}$ est strictement croissante si et seulement si, pour tout entier naturel $n$, $U_{n + 1} > U_n$.

Une suite $(U_n)_{(n \in \mathbb{N})}$ est strictement décroissante si et seulement si, pour tout entier naturel $n$, $U_{n + 1} < U_n$.

 

Montrer qu'une suite est monotone revient à montrer que la suite est croissante ou décroissante. 

Pour étudier les variations d'une suite, il existe quatre méthodes :

 

I. Comparer directement $U_{n + 1}$ à $U_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$

 

II. Étudier le signe de $U_{n + 1} - U_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ :

Si $U_{n + 1} - U_n \geq 0$, $(U_n)$ est croissante car alors $U_{n + 1} \geq U_n$ et,

Si $U_{n + 1} - U_n \leq 0$, $(U_n)$ est décroissante car alors $U_{n + 1} \leq U_n$

 

III. Si une suite est strictement positivecomparer $\dfrac{U_{n + 1}}{U_n}$ à 1,

Si par exemple $\dfrac{U_{n + 1}}{U_n} \geq 1$ alors $U_{n + 1} \geq U_n$ donc $(U_n)$ est croissante.

 

IV. Si $U_n = f(n)$, étudier les variations de $f$ sur $\mathbb{R}_+$ :

Si $f$ est croissante sur $\mathbb{R}_+$, alors comme $n + 1 \geq n \iff f(n + 1) \geq f(n)$ par croissance de $f$ $\iff U_{n + 1} \geq U_n$, $(U_n)$ est donc croissante.