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L'INCONTOURNABLE DU CHAPITRE

Exercice - Suites : les fondamentaux



L'énoncé

On considère la suite de nombres réels \((u_n)\) définie sur \(\mathbb{N}\) par :
\(u_0 = -1, u_1 = \dfrac{1}{2}\) et, pour tout entier naturel \(n\) :\( u_{n+2} = u_{n+1} - \dfrac{1}{4}u_n\)


  • Question 1

    Calculer \(u_2\) et en déduire que la suite \((u_n)\) n'est ni arithmétique ni géométrique.

  • Question 2

    On définit la suite \((v_n)\) en posant, pour tout entier naturel \(n\) : \(v_n = u_{n+1} - \dfrac{1}{2}u_n\)

    Calculer \(v_0\).

  • Question 3

    Exprimer \(v_{n+1}\) en fonction de \(v_n\).

  • Question 4 En déduire que la suite \((v_n)\) est géométrique de raison \(\frac{1}{2}\).
  • Question 5 Exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\).
  • Question 6

    On définit la suite \((w_n)\) en posant, pour tout entier naturel \(n\) : \(w_n = \dfrac{u_n}{v_n}\)

    Calculer \(w_0\).

  • Question 7

    En utilisant l'égalité \(u_{n+1} = v_n + \dfrac{1}{2}u_n\), exprimer \(w_{n+1}\) en fonction de \(u_n\) et de \(v_n\).

  • Question 8

    Montrez que pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\), \(w_{n+1} = 2 + w_{n}\).

  • Question 9

    Exprimer \(w_n\) en fonction de \(n\).

  • Question 10

    Montrer que pour tout entier naturel \(n\),  \(u_n = \dfrac{2n-1}{2^n}\)

  • Question 11

    Pour tout entier naturel \(n\), on pose : \(S_n = \displaystyle\sum^{k=n}_{k=0} u_k = u_0 + u_1 + ...+ u_n\)

    Démontrer par récurrence que pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\) : \(S_n = 2 - \dfrac{2n+3}{2^n}\)

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