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L'INCONTOURNABLE DU CHAPITRE

Exercice d'application


Suites numériques

  • Exercice : Suites, limites, convergence

    Le graphique ci-dessous sera complété et remis avec l'exercice.

    Soit la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0 ; 2]$ par $f(x)=\dfrac{2x+1}{x+1}$.

     

    1) Étudier les variations de $f$ sur l’intervalle $[0 ; 2]$. Montrer que si $x \in [1;2]$ alors $f(x) \in [1;2]$.

     

    2) $(U_n)$ et $(V_n)$ sont deux suites définies pour tous entiers par :

    $U_0=1$  et pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1}=f(U_n)$,

    $V_0=2$ et pour tout entier naturel $n$, $V_{n+1}=f(V_n)$.

     

    a) Le graphique donné en annexe représente la fonction $f$ sur l’intervalle $[0 ; 2]$.    

    Construire sur l’axe des abscisses les trois premiers termes de chacune des suites $(U_n)$ et $(V_n)$ en laissant apparents tous les traits de construction. 

    À partir de ce graphique, que peut-on conjecturer concernant le sens de variation et la convergence des suites $(U_n)$ et $(V_n)$ ?

     

    b) Montrer à l’aide d’un raisonnement par récurrence que : Pour tout entier naturel $n$, $1 \leq V_n \leq 2$.  

    Pour tout entier naturel $n$, $V_{n+1} \leq V_n$. On admettra que l’on peut démontrer de la même façon que : 

    Pour tout entier naturel $n$, $1 \leq U_n \leq 2$. Pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1} \leq U_n$.                                                      

     

    c) Montrer que pour tout entier naturel $n$, $V_{n+1}-U_{n+1}=\dfrac{V_n-U_n}{(V_n-1)(U_n+1)}$.

    En déduire que pour tout entier naturel $n$, $V_n-U_n \geq 0$ et $V_{n+1}-U_{n+1} \leq \dfrac{1}{4}(V_n-U_n)$.

     

    d) Montrer que pour tout entier naturel $n$, $V_n-U_n \leq (\dfrac{1}{4})^n$.                                                                                              

     

    e) Montrer que les suites $(U_n)$ et $(V_n)$ convergent vers un même réel $\alpha$. Déterminer la valeur exacte de $\alpha$.

     

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