Terminale Littéraire > Philosophie > Notions philosophiques > La raison et le réel

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LA DÉMONSTRATION - PARTIE 1

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La démonstration a deux sens. Un sens général d’abord : tout type de preuve. C’est le sens retrouvé couramment : par exemple, en justice, on va chercher à démontrer la culpabilité ou l’innocence de quelqu’un. Ensuite, elle a aussi un sens strict, mathématique : une opération intellectuelle qui vise à établir la vérité d’une proposition en la déduisant de prémisses tenues pour vraies. Les prémisses sont les propositions qui permettront de démontrer. Un axiome est une proposition tenue pour vraie sans être démontrée. C’est un point de départ pour la démonstration. Exemple : « Le tout est plus grand que la partie ». Le postulat est une proposition que l’on tient pour vraie sans être démontrée mais en supposant que la démonstration est possible. Exemple : le postulat d’Euclide, « par un point extérieur à une droite d, il ne peut passer qu’une droite parallèle à la droite d. » On verra que ce postulat a posé un problème aux mathématiciens. Enfin, un théorème est une proposition démontrée. Exemple : le théorème de Pythagore, « dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés ».

 

I. Un idéal de la connaissance

La démonstration mathématique semble constituer un idéal pour la connaissance. Tout d’abord, cette démonstration est rigoureusement objective. Quand je fais une démonstration mathématique, je ne fais appel qu’à la raison, non pas aux sentiments de celui qui est en train de démontrer. C’est pourquoi beaucoup, et aussi parmi les philosophes, y ont vu un modèle à appliquer à toutes les sciences. C’est le cas de Descartes par exemple, et c’est probablement l’opinion commune au XVIIe siècle. Descartes était fasciné par le modèle des mathématiques, et il voulait l’appliquer à toutes les sciences, y compris la philosophie. Une citation du Discours de la méthode de Descartes exprime bien cette idée : « ces longues chaînes de raisons toutes faciles et toutes simples dont les géomètres ont coutume de se servir pour parvenir à leurs plus difficiles démonstrations m’avaient données occasion d’imaginer que toutes les choses qui peuvent tomber sous la connaissance des Hommes s’entresuivent de même façon. » Donc pour Descartes, l’ensemble des choses que l’on peut connaître doivent s’entresuivre comme s’entresuivent les vérités mathématiques que l’on a dans les démonstrations. On doit pouvoir déduire l’ensemble des vérités.

S’il y a bien un problème en démonstration, c’est celui du statut des axiomes, qui ne sont par définition pas démontrés, ni démontrables. Comment savoir s’il est vrai ? Pascal, dans son texte De l’esprit géométrique, compare deux méthodes. Il compare une méthod

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